Aratati ca daca suma patratelor a trei numere se divide cu 3 atunci ori toate se divid cu 3,ori niciunul nu se divide cu 3.

Aceeasi solutie, condensata algebric si cu partea de logica eliminata...

Fie A,B,C cele trei patrate.
Lucram in ZZ modulo 3. Cele trei patrate induc (cu caciula) "numerele" a,b,c respectiv in (inelul) ZZ modulo 3.
Un patrat modulo 3 este fie 0, fie 1.
Stim ca a+b+c = 0 in ZZ / 3 .
Numarul de 1-uri folosite in aceasta suma este deci divizibil cu 3, de unde cele cerute.

De ce m-am mai bagat in vorba?

Problema este in esenta una referitoare la clase de resturi (chiar daca este propusa pentru un nivel ce nu cunoaste clasele de resturi). Nu este bine sa contrabalansam in solutie partea cu logica.

La nivel de olimpiada, daca cineva ar scrie:
"Generalizare: Daca o suma de patrate perfecte (de numere naturale) se divide cu 3, atunci [numarul termenilor din suma ce nu se divid cu 3] se divide cu 3."
atunci eu as da dublul de puncte, dar altul poate ca nu. De ce as proceda asa, desi sunt constient ca generalizarea nu este deloc utila ca atare si enuntul a ajuns chiar intr-o forma aproape de absurdul formalismului ? Deoarece generalizarea loveste exact esenta problemei.
Demonstratia generalizarii este cea de mai sus, in care se completeaza in cateva randuri cu "puncte-puncte"... si se aranjeaza usor propozitiile, de pilda:

- Fie A,B,C, ... patratele date.
- ... induc (cu caciula) "numerele" a,b,c, ... respectiv...
- Stim ca a+b+c+... (suma finita) = 0 in ZZ/3 .

[Citat] Aceeasi solutie, condensata algebric si cu partea de logica eliminata... Fie A,B,C cele trei patrate. Lucram in ZZ modulo 3. Cele trei patrate induc (cu caciula) "numerele" a,b,c respectiv in (inelul) ZZ modulo 3. Un patrat modulo 3 este fie 0, fie 1. Stim ca a+b+c = 0 in ZZ / 3 . Numarul de 1-uri folosite in aceasta suma este deci divizibil cu 3, de unde cele cerute. De ce m-am mai bagat in vorba? Problema este in esenta una referitoare la clase de resturi (chiar daca este propusa pentru un nivel ce nu cunoaste clasele de resturi). Nu este bine sa contrabalansam in solutie partea cu logica. La nivel de olimpiada, daca cineva ar scrie: "Generalizare: Daca o suma de patrate perfecte (de numere naturale) se divide cu 3, atunci [numarul termenilor din suma ce nu se divid cu 3] se divide cu 3." atunci eu as da dublul de puncte, dar altul poate ca nu. De ce as proceda asa, desi sunt constient ca generalizarea nu este deloc utila ca atare si enuntul a ajuns chiar intr-o forma aproape de absurdul formalismului ? Deoarece generalizarea loveste exact esenta problemei. Demonstratia generalizarii este cea de mai sus, in care se completeaza in cateva randuri cu "puncte-puncte"... si se aranjeaza usor propozitiile, de pilda: - Fie A,B,C, ... patratele date. - ... induc (cu caciula) "numerele" a,b,c, ... respectiv... - Stim ca a+b+c+... (suma finita) = 0 in ZZ/3 .

Sa mergem mai departe cu generalizarea: Daca p este un numar prim si o suma de puteri de ordinul p-1 se divide cu p atunci numarul de baze nedivizibile cu p se divide cu p -Ghici mtf (cu m mic ca e "mica teorema" nu "marea...)ce-i..?

[Citat] [Citat] Aceeasi solutie, condensata algebric si cu partea de logica eliminata... Fie A,B,C cele trei patrate. Lucram in ZZ modulo 3. Cele trei patrate induc (cu caciula) "numerele" a,b,c respectiv in (inelul) ZZ modulo 3. Un patrat modulo 3 este fie 0, fie 1. Stim ca a+b+c = 0 in ZZ / 3 . Numarul de 1-uri folosite in aceasta suma este deci divizibil cu 3, de unde cele cerute. De ce m-am mai bagat in vorba? Problema este in esenta una referitoare la clase de resturi (chiar daca este propusa pentru un nivel ce nu cunoaste clasele de resturi). Nu este bine sa contrabalansam in solutie partea cu logica. La nivel de olimpiada, daca cineva ar scrie: "Generalizare: Daca o suma de patrate perfecte (de numere naturale) se divide cu 3, atunci [numarul termenilor din suma ce nu se divid cu 3] se divide cu 3." atunci eu as da dublul de puncte, dar altul poate ca nu. De ce as proceda asa, desi sunt constient ca generalizarea nu este deloc utila ca atare si enuntul a ajuns chiar intr-o forma aproape de absurdul formalismului ? Deoarece generalizarea loveste exact esenta problemei. Demonstratia generalizarii este cea de mai sus, in care se completeaza in cateva randuri cu "puncte-puncte"... si se aranjeaza usor propozitiile, de pilda: - Fie A,B,C, ... patratele date. - ... induc (cu caciula) "numerele" a,b,c, ... respectiv... - Stim ca a+b+c+... (suma finita) = 0 in ZZ/3 . Sa mergem mai departe cu generalizarea: Daca p este un numar prim si o suma de puteri de ordinul p-1 se divide cu p atunci numarul de baze nedivizibile cu p se divide cu p -Ghici mtf (cu m mic ca e "mica teorema" nu "marea...)ce-i..?

Ramane adevarata problema daca p nu e prim ? Daca nu, atunci care sunt numerele pentru care functionaeza implicatia? Este adevarat ca implicatia functioneaza daca si numai daca p este prim? etc, etc, etc. Care este varianta mai buna pentru o tentativa de generalizare ? Pastrarea exponentului p-1 sau mersul cu varianta indicatorului lui Euler pentru p ?
Poate ca se lasa cu un articol...