E un joc simplu, intr-un tablou 3x3 se scriu, in casutele lui, literele A,B,C si numai acestea, cate una in fiecare casuta, astfel incat pe fiecare linie si coloana sa fie exact cate un A, exact cate un B si (atunci desigur) exact numai un C.

Acesta este un joc, iar elevii unei clase incearca unul cate unul sa realizeze cate un astfel de tablou. Ei nu au voie sa copieze solutii deja prezentate, pretindem ca ne aflam intr-o scoala din trecutul indepartat. Pe fiecare solutie neprezentata se primeste un mic premiu. Desigur ca a fost bataie pe primele locuri in coada...

Vine primul elev, inscrie
BAC
ACB
CBA
in tablou, gata, isi ia premiul.

Vine al doilea elev, inscrie
ABC
BCA
CAB
in tablou, gata, isi ia premiul.

Si tot asa mai departe. Desigur ca, fiind posibilitati de plasare mai putine decat numarul elevilor, va fi un prim elev care va avea ghinion.
Presupunem ca nici un elev nu a ratat sansa de a lua premiul, al catalea elev a avut ghinion?

N.B. Intentia mea initiala a fost de a edita o problema la aritmetica, nu la citire.

al 13-lea

Adica 3!*2 + 1.

Desigur...

Am propus problema la ciclul primar in speranta ca un elev de clasa a IV-a poate sa inteleaga combinatorica (de dimensiuni reduse) ce se ascunde in spatele lui
3! x 2 , numarul tablourilor 3x3 perfecte ce plaseaza a simbolurile A,B,C .

Sper ca nu am mers prea departe.
Solutia la nivel de a IV-a este greu de (de)scris si mi-e teama, mai greu de inteles, dar o sa incerc.
(Solutia este babeasca, toate cazurile sunt enumerate, astfel evit notiunea de permutare, de exemplu.)

Pe prima linie XXX a unui tabel ce trebuie / poate fi completat, de forma
XXX
YYY
ZZZ
ce "cuvinte" pot sta? (Folosesc de trei ori X in XXX, dar X are sens de , nu de o valoare ce trebuie pusa de trei ori.)

Primul X din XXX, cel cu care incepe "cuvantul" XXX poate sa fie A sau B sau C.

Daca cuvantul incepe cu A, atunci urmatoarea litera este B sau C.
- daca este B, dam de ABC.
- daca este C, dam de ACB.

Daca cuvantul incepe cu B, atunci urmatoarea litera este A sau C.
- daca este A, dam de BAC.
- daca este C, dam de BCA.

Daca cuvantul incepe cu C, atunci urmatoarea litera este A sau B.
- daca este A, dam de CAB.
- daca este B, dam de CBA.

Astfel am determinat (prin enumerare explicita) cele sase posibilitati de umplere a primei linii. Le luam acum pe rand.

(1) Daca primul rand este ABC, atunci incercam sa vedem ce valoare poate sa ia primul Y din
ABC
YYY
ZZZ .
Valoarea A este interzisa, se mai afla o data in coloana.
Deci putem avea doar B sau C.
---> Daca avem B, atunci prima coloana este determinata,
avem o situatie de forma:
ABC
B??
C??
Unde sta al treilea B? Nu in primele doua linii si nu in primele doua coloane. Deci asa:
ABC
B??
C?B
Unde sta al treilea C? Cu acelasi argument doar asa:
ABC
BC?
C?B
Unde e loc de ultimele doua pozitii ale celor doua A-uri ce lipsesc? Doar asa:
ABC
BCA
CAB

---> Daca avem C, atunci prima coloana este determinata,
avem o situatie de forma:
ABC
C??
B??
iar semnele de intrebare se completeaza doar asa:
ABC
CBA
BAB

La fel se procedeaza (explicit) si in celelalte cazuri in care prima linie are celelalte plasamente:

(2) Daca prima linie este ACB, singurele tablouri ce le putem obtine prin completare sunt:
ACB ACB
BAC CBA
CBA BAC
(ultimele doua linii sunt in ordine inversa, schimbate una cu alta.)

(3) Daca prima linie este BAC, singurele tablouri ce le putem obtine prin completare sunt:
BAC BAC
ACB CBA
CBA ACB
(ultimele doua linii sunt in ordine inversa, schimbate una cu alta.)

(4) Daca prima linie este BCA, singurele tablouri ce le putem obtine prin completare sunt:
BCA BCA
ABC CAB
CAB ABC

(5) Daca prima linie este CAB, singurele tablouri ce le putem obtine prin completare sunt:
CAB CAB
ABC BCA
BCA ABC

(6) Daca prima linie este CBA, singurele tablouri ce le putem obtine prin completare sunt:
CBA CBA
ACB BAC
BAC ACB

Aceasta a fost partea cu matematica.
(Consider ca un elev de clasa a IV poate incerca asa ceva, dand o proprie ordine in micul haos al celor 12 tabele posibile. El poate observa inainte sau dupa solutie unele lucruri utile:
- prima linie si prima coloana odata fixate (plasate) determina restul.
- schimband liniile intre ele obtinem mereu un tabel nou din aceeasi lista.
- schimband coloanele intre ele obtinem mereu un tabel nou din aceeasi lista.
Experienta facuta asa este utila mai tarziu in combinatorica si la calculul determinantilor...)

Urmeaza partea mai distractiva.
La luarea premiilor, au venit primii 12 elevi, au desenat cate un tabel si-au luat premiul si au plecat. A venit al 13-lea si, ca sa vezi, ce ghinion, dom'le!
Ceasu' rau, pisica 13... !
(Din experienta, doar cine a rezolvat problema are parte de ras...)

N.B. Eu sunt depaaarte de clasa a IV-a, imi aduc insa aminte ca faceam multe probleme de "intors" lucruri (de exemplu cu locomotive de anumita lungime ce trebuiau sa faca manevre pentru a detasa un vagon de colo colo...) .
As fi curios, va rog, daca o eleva sau un elev de a IV-a chiar incearca sa rezolve, sa-mi spuna ce a incercat si cat de departe a ajuns. (In definitiv si pana la clasa a VIII-a e aceasi curiozitate.)

N.B. Numa' bine!

Eu am completat patratul folosind regula lui Bachet.Nu prea stiu eu sa inserez desenul asa ca mi-e mai greu sa descriu,din fiecare varf am trei posibilitati de numerotare si cum am 4 varfuri, avem 4*3+1=13