Salutare, pro-didacticieni!

S? fiu sincer, mi-e ru?ine de problemele pe care le propun mai jos, deoarece ?tiu c? sînt elementare. Dar, din p?cate, eu am studiat a?a ceva acum vreo 3 ani, avînd, deci, suficient timp s? uit, iar c?ut?rile pe net ?i alte surse nu mi-au oferit r?spunsuri satisf?c?toare.

A?adar...

1. Fie

.
Demonstra?i c? V este subspa?iu vectorial al spa?iului real cuadridimensional ?i g?si?i o baz? pentru V.

2. Fie matricea:

Afla?i polinomul caracteristic, polinomul minimal, factorii invarian?i ?i forma canonic? Jordan.

Uite ce am încercat eu:
2. Polinomul caracteristic

. Atunci polinomul minimal, fiind un divizor al celui caracteristic, este

. Calculînd m(A), am aflat c? i=3.
Atunci forma canonic? Jordan con?ine un bloc de dimensiune 1, corespunz?tor valorii 1 ?i un bloc 3x3 corespunz?tor valorii 0, adic?:

Factorii invarian?i i-am aflat diagonalizînd cu opera?ii elementare matricea A-XI ?i am ob?inut

, dac? n-am gre?it.

La 1. trecem peste a demonstra c? V este subspa?iu, deoarece reiese imediat demonstrînd c? p?streaz? combina?iile liniare cu coeficien?i reali. Acum cu baza lui V cum fac?

A?adar, scrie?i-mi, v? rog, dac? am rezolvat bine pe 2. ?i ce e de f?cut la 1., f?r? s? m? critica?i prea tare pentru dificultatea problemelor

Mul?umesc.

Nu e loc de nici un fel de critica, din contra,
din ce in ce mai rar (la orice nivel din matematica sau alte domenii) oamenii stiu sa fixeze cadrul, sa
puna intrebarea la obiect si au stiinta si curajul sa arate pana unde au ajuns cu intelegerea.

Sper ca macar partea cu curajul va ajunge cat de repede normalitate (macar pe aceasta pagina).

Acum la obiect:

Mul?umesc pentru r?spuns.

În?eleg, de aici, c? am rezolvat corect problema 2.. Nu?

De asemenea, constat c? eram pe calea ce bun? ?i la 1., chiar dac? îmi p?rea c? am abordat-o ciudat. Eu luasem o aplica?ie liniar? f, de la R4 la V, f((a,b,c,d))=(a+b,b-a,b,a+b). Cu ocazia asta am v?zut c?, dac?, s? zicem, e1,e2,e3,e4 formeaz? baza canonic? a R4, atunci f(e1)=(1,-1,0,1), f(e2)=(1,1,1,1), iar f(e3)=f(e4)=0. De aici am avut primul indiciu ?i se pare c? am fost la un pas de a concluziona, ca ?i dvs, c? V este bidimensional ?i are baza f(e1),f(e2).

La 1., la obiect (incat sa se vada ca stim ce facem), este urmatorul argument pentru dimensiunea si baza lui V:

Fie f aplica?ia liniar? de la R2 la V,
f( (a,b,c,d) ) = ( a+b, b-a, b, a+b ).
Atunci f este surjectiva.
De asemenea f este injectiva deoarece
f(e1)=(1,-1,0,1), f(e2)=(1,1,1,1)
sunt doi vectori liniar independenti.

Deci f stabileste un izomorfism al lui R2 cu V, baza fiind dusa intr-o baza.

[Citat] În?eleg, de aici, c? am rezolvat corect problema 2.. Nu?

Desigur, am vrut numai sa pun mai multa emfaza pe faptul ca problema a venit in forma ei gata rezolvata. (Cele cerute se pot extrage din cele date fara calcul. Este o problema tipica de examen oral fara hartie si creion, la care se asteapta ca toate raspunsurile sa vina din pistol.)

In plus e bine sa se stie ca majoritatea programelor de sisteme algebrice computerizate stiu sa transeze problema. (Eu am folosit sage pe o masina linux, pentru ca tin la libertate si refuz sa fur ceea ce se poate consuma liber.)