1. Determinati n intreg pentru care A=(n^2-5n+6)-(3n-20)^2 este prim

2.Determinati numerele rationale m si n pentru care avem:
a) m(radical din3+2)+n(radical din3-2)=3radical din3-2
b)m/radical din3+n/radical din3+2=5+3radical din3
c)m(3radical din2-2)+n(5radical din 3)=7radical din 2-5

3.Daca a, b, c sunt laturile unui triunghi, atunci avem:
a) (a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)<sau egal ca abc
b) a/b+c-a+b/c+a-b+c/a+b-c>sau egal ca3
c)1/a+b + 1/b+c +1/c+a<5/a+b+c

4.Fie a, b, c si d reale, pozitive, diferite astfel incat a+b+c+d=2
Aratati ca: radical din[a(b+c+d)]+radical din[b(a+c+d)]+radical din[c(a+b+d)]+radical din[d(a+b+c)]<4

Va rog, ajutati-ma!

[Citat] 1. Determinati n intreg pentru care A=(n^2-5n+6)-(3n-20)^2 este prim

[Citat] 2.Determinati numerele rationale m si n pentru care avem: a) m(radical din3+2)+n(radical din3-2)=3radical din3-2 b)m/radical din3+n/radical din3+2=5+3radical din3 c)m(3radical din2-2)+n(5radical din 3)=7radical din 2-5

[Citat] 3.Daca a, b, c sunt laturile unui triunghi, atunci avem: a) (a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)<sau egal ca abc b) a/b+c-a+b/c+a-b+c/a+b-c>sau egal ca3 c)1/a+b + 1/b+c +1/c+a<5/a+b+c

a) Se noteaza

Avem

.
Se aplica inegalitatea mediilor pentru cate doua din numerele x, y, z si apoi se inmultesc cele trei inegalitati.
b) Se aplica inegalitatea mediilor si se foloseste punctul a)
c) Inmultind inegalitatea cu

si distribuind convenabil numitorul se obtine inegalitatea

Facand calculele se obtine inegalitatea

Dar

. La fel pentru celelalte.

[Citat] 4.Fie a, b, c si d reale, pozitive, diferite astfel incat a+b+c+d=2 Aratati ca: radical din[a(b+c+d)]+radical din[b(a+c+d)]+radical din[c(a+b+d)]+radical din[d(a+b+c)]<4

Avem

Analog

Nu toate inegalitatile se verifica cu "=", deoarece ar rezulta a=b=c=d=1 si nu s-ar mai verifica conditia din enunt. Deci cel putin o inegalitate din cele 4 este stricta. Adunand inegalitatile se obtine inegalitatea din enunt.