Vreau s? m? joc la jocuri mecanice. Automatul, la intamplare, începând cu suma ini?ial? de 20 de lei ?i apoi la fiecare joc, m?re?te suma de dou? sau de cinci ori sau o mic?oreaz? de dou? sau de cinci ori (restul fiind zero!). Dup? 2011 jocuri a? putea r?mâne tot cu 20 de lei ? Justifica?i r?spunsul!

Atunci explicit, iata o posibilitate, cu pasii grupati in blocuri:

20 (punctul de plecare)

> 4 > 2 > 1 (am ajuns la unu prin procedura A)
> 5 > 2 > 1 (am ramas in 1 intr-un numar impar de pasi, procedura I)
> 2 > 4 > 20 (am ajuns in 20 prin procedura (A inversat))

> 10 > 20 (stam pe loc intr-un numar par de pasi, procedura S)
> 10 > 20 (stam pe loc intr-un numar par de pasi, procedura S)
> 10 > 20 (stam pe loc intr-un numar par de pasi, procedura S)
> 10 > 20 (stam pe loc intr-un numar par de pasi, procedura S)

:
:
:
Urmeaza cateva linii (omise deoarece exista inductia finita) pana dam de jocul cu numarul 2011.

(N.B. Iar am editat in loc sa citez, cer scuze..)

ne jucam de 2011 ori !

Pentru a intelege cat se poate de bine care este jocul cu jocul, sa incercam sa raspundem la intrebarea:

Jucatorul are la inceput 20 de unitati din valuta lui preferata si joaca jocul de mai sus. Presupunem ca cu urmatoarele probabilitati plecand cu x la joc dupa un joc are....

Probabilitatea 1/4 : ... are 5x
Probabilitatea 1/4 : ... are 2x
Probabilitatea 1/4 : ... are [ x/2 ]
Probabilitatea 1/4 : ... are [ x/5 ]

Cu ce probabilitate jucatorul este ruinat dupa cel mult 10 jocuri ?

Care este valoarea medie dupa 10 jocuri?

(Problema este o cred problema de programare daca vrem solutia exacta, dar si evaluari mai bune sau mai rele sunt binevoite.)

Nota: Cel ce va juca jocul va vedea intotdeauna in reclama posibilitatea cu 5x pe primul loc, iar posibilitatea cu [ x/5 ] o va ignora (Freud ~ verdr"angen) deoarece arata prea complicat. Desigur, ca daca tot a ignorat [ x/5 ] nici [ x/2 ] nu are sanse mari sa fie perceput... Jucam daca vedem reclama?

Unde e problema cu solutia de mai sus?
(Sper ca am inteles bine problema...)

este numai o indicatie la problema ! daca va spune ceva suma exponentilor...

Imi este inca neclar daca cele de mai sus sunt respinse ca solutie (sau ca solutia cea mai simpla).

Suma exponentilor nu imi spune nimic, nimic mai mult decat 1+2=3.
Este posibil ca rezolvam doua probleme diferite cu doua limbaje diferite.

Asa ca incerc sa editez mai multe propozitii.
In primul rand, daca problema este propusa cu numere reale > 0 si nu cu bani sub forma...

Se considera un sir ( x(n) ) cu proprietatile:

x(0) = 20

x(n+1) / x(n) este un element al multimii { 1/5 , 1/2 , 2 , 5 } .

Este posibil sa avem x(2011) = 20 ?

... raspunsul este negativ. (Logaritmam si folosim faptul ca ln 2 si ln 5 sunt independente peste numere intregi in ZZ-Modulul IR.
De aceea orice scriere
k ln(2) + l ln(5) = 0 cu k,l in ZZ
are k=l=0, deci numarul de folosiri ale lui 2 respectiv 1/2 coincid in eventualitatea ca dam de 0, etc...)

Daca problema este formulata sub forma...

Se considera un sir ( x(n) ) de numere naturale pozitive cu proprietatile:

x(0) = 20

x(n+1) = [ s(n) x(n) ] unde s(n) este un element al multimii { 1/5 , 1/2 , 2 , 5 } .
(Aici [.] este functia parte intreaga.)

Este posibil sa avem x(2011) = 20 ?

...atunci raspunsul este pozitiv, ajunge sa declaram un singur sir ce satisface, iar acesta are urmatorii primi termeni:

x(0)=20, 10, 5, 2, 1, 5, 10, x(7)=20,
iar urmatorii sunt alternativ 10, 20, 10, 20, ...
fiind clar ca x(2011) = 20.

Cer scuze, dar nu inteleg la ce se face aluzie legat de suma exponentilor.

problema este una de clasa a 6 a !
Zicem asa...
Suma exponentilor este numar impar...La pasul 1 suma exponentilor se mareste sau se micsoreaza cu 1 (20 se inmulteste sau se imparte fie la 2,fie la 5!)...deci devine numar par! La pasul 2 suma exponentilor se mareste sau se micsoreaza din nou cu ! !....devine numar impar...ehee...(deci la un joc cu numar de ordine impar,suma exponentilor este numar par, iar la un joc cu numar de ordine par suma exponentilor este numar impar ) si din aproape in aproape deducem ca la pasul 2011 suma exponentilor este numar par...deci ..la revedere... 20 de lei!

Bun, odata cu solutia am inteles in sfarsit problema.

(Faptul ca plecam de la 20 de lei si vrem sa ajungem la 20 de lei,
sau daca plecam de la 40 de lei si incercam sa ajungem tot la 40 de lei
e cam acelasi lucru, conteaza doar ca avem un numar impar de pasi...)


Cum sa inteleg totusi...

[Citat] ...la fiecare joc, m?re?te suma de dou? sau de cinci ori sau o mic?oreaz? de dou? sau de cinci ori (restul fiind zero!).

...din cele date in sensul intentionat acum devenit altfel clar?!

Am plecat de la ideea ca daca omul are in mana 5 lei si automatul ii micsoreaza de doua ori, omul mai ramane cu 2 lei (restul fiind zero)...

eu am gandit cam asa...daca la un moment are 4 lei,automatul (programat fiind!) nu poate micsora de 5 ori...aici ori mareste suma de 5 ori sau de doua ori, ori o micsoreaza de doua ori.