Buna ziua,

Va rog, daca se poate, sa ma ajutati cu indicatii privind rezolvarea subiectului II (Dolj).
Imi cer scuze ca nu le postez, dar inca nu stiu sa utilizez latex, iar sa le scriu mi-ar fi dificil.
Singura pagina unde am gasit ca se pot descarca subiectele este urmatoarea:

http://forum.portal.edu.ro/index.php?showtopic=112845&st=25

Va multumesc anticipat,

[Citat] Buna ziua, Va rog, daca se poate, sa ma ajutati cu indicatii privind rezolvarea subiectului II (Dolj). Imi cer scuze ca nu le postez, dar inca nu stiu sa utilizez latex, iar sa le scriu mi-ar fi dificil. Singura pagina unde am gasit ca se pot descarca subiectele este urmatoarea: http://forum.portal.edu.ro/index.php?showtopic=112845&st=25 Va multumesc anticipat,

Se foloseste a=2R sin A si similarele si problema se reduce la demonstrarea unei simple identitati trigonometrice.

Multumesc pentru raspuns, insa nu cred ca vorbim despre acelasi subiect.

Multumesc oricum,

E vorba despre problema cu cubul?

[Citat] Multumesc pentru raspuns, insa nu cred ca vorbim despre acelasi subiect. Multumesc oricum,

Poate n-ar strica daca ati explica mai pe indelete ce problema va intereseaza de fapt.

(II.1)
Incerc sa prezint cat se poate de detaliat o solutie, asa cum lucrez si ma incur eu cu vectorii.
Este ce-i drept o prezentare mai mult pe gustul meu, adun tot ce am intr-un dictionar si apoi vad ce pot face cu cele adunate,
dar mai bine asa, fara sa incerc sa compactifiez prea mult. Desigur ca solutia se poate prescurta...

Unde sunt acum problemele cu functia f(x) = x / arctan(x) ?

(a) Se calculeaza usor m = limita lui f(x)/x pentru x la infinit.
De asemenea, diferenta f(x) - mx ...

(b) Functia data este para. Ajunge sa ne uitam la ea pentru x>0. (Zeroul ne-a fost scos cu generozitate din domeniu. Aceasta generozitate ne obliga la (c) sa consideram doar subintrevale ale semiaxei descise pozitive respectiv negative.)

Derivam, ne uitam la formula lui f'(x) si ajungem repede la concluzia ca trebuie sa studiem semnul derivatei

pentru x>0. Avem g(0)=0. Daca derivam dam de

Deci g este strict crescatoare pe [ 0, oo ) , deci g(x) > g(0) = 0 pe ( 0, oo ),
deci f este o functie strict crescatoare pe semiaxa reala pozitiva.

(c) Derivata secunda a lui f pare a fi

Pentru x>0 vedem repede ca avem f''(x)>0. (Studiem de exemplu u(x)=x-arctan(x) ca la (b), avem u(0)=0 si derivata u'(x) = ... >0 pe (0,oo).)

(d) In sfarsit, ni se cere inegalitatea f(7)+f(2) > f(4)+f(5) .
Pentru aceasta il scriem pe 4 sub forma p.2 + q.7 cu p+q=1 .
Convexitatea stricta ne da o inegalitate (Jensen)...
f(4) = f(p.2+q.7) < p.f(2)+q.f(7) .

Apoi il scriem pe 5 sub forma... q.2+p.7 si mai dam de o inegalitate.
Adunam...

[Citat] (d) In sfarsit, ni se cere inegalitatea f(7)+f(2) > f(4)+f(5) . Pentru aceasta il scriem pe 4 sub forma p.2 + q.7 cu p+q=1 . Convexitatea stricta ne da o inegalitate (Jensen)... f(4) = f(p.2+q.7) < p.f(2)+q.f(7) . Apoi il scriem pe 5 sub forma... q.2+p.7 si mai dam de o inegalitate. Adunam...

Intrucat derivata a doua este strict pozitiva pentru x>0, rezulta ca derivata intai este strict crescatoare.
Aplicam teorema lui Lagrange pe intervalele [2,4] si [5,7]:
Atunci:

astfel incat

astfel incat

Dar