F1!!

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Substitutia t = tan(x) rezolva prima problema repede...
Aceasta este o substitutie Weierstrass standard, (care trebuie) bine cunoscuta.
http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassSubstitution.html

Am cautat pe net, pentru ca nu vreau sa tiparesc eu, exemple...
http://www.math24.net/integration-of-rational-expressions-of-trigonometric-functions.html poate sa clarifice cum stau (macar formal) lucrurile. Acum la noi...

Cu calculatorul se poate incerca intotdeauna (mai intai), cod sage...

sage: integrate( 1/( 5 + 4*sin(2*x) ) , x )
1/3*arctan(5/3*sin(2*x)/(cos(2*x) + 1) + 4/3)


Substitutia t = tan(x/2) rezolva a doua problema la fel de repede...

sage: integrate( 1/( 2*sin(x) - cos(x) + 5 ) , x )
1/5*sqrt(5)*arctan(1/5*(3*sin(x)/(cos(x) + 1) + 1)*sqrt(5))

sage: integrate( (1+sin(x))/(1+cos(x))*exp(x) , x ) . simplify_trig()
e^x*sin(x)/(cos(x) + 1)

Am dat mai intai rezultatul.
Deseori metoda de rezolvare pentru integrale de acest fel (Laplace/Fourier/...) este incercarea de plasare a integradului sub forma:

( f+f' ) exp(x) = ( f exp(x) )'

Avem atunci de rezolvat o ecuatie diferentiala cu un termen liber...
Acest lucru nu merge intotdeauna...


Ultima integrala,

este de culoarea celor din
http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicSubstitution.html
http://www.math24.net/trigonometric-and-hyperbolic-substitutions.html
(pe aici m-a purtat google mai intai). Trebuie sa scriem deci (completare la un patrat) xx+x+1 ca (x+1/2) la patrat plus restul, acest rest este 3/4, deci se recomanda substitutia

cu reducere la o integrala de functie R( tan t ), R functie rationala...
Calculatorul da rezultatul (una dintre primitive)...

sage: integrate( 1 / (1+x) / sqrt(1+x+x^2) , x )
arcsinh(1/3*sqrt(3)*x/abs(x + 1) - 1/3*sqrt(3)/abs(x + 1))

mersi, chiar m-a ajutat raspunsurile