Cand se demonstreaza "pasul de inductie"
p(n)->p(n+1), cum e corecta redactarea?
Trebuie scris "presupunem p(n) adevarata si demonstram ca
p(n+1) este adevarata" sau pur si simplu se pleaca de la p(n)
si se ajunge la p(n+1) fara a mentiona ca p(n) o consideram adevarata??
Faptul ca o implicatie e adevarata nu inseamna ca ipoteza
trebuie sa fie adevarata.

Referitor tot la implicatie, conform tabelului de adevar, o implicatie e adevarata
atunci cand sau ipoteza e falsa, sau si ipoteza si concluzia
sunt simultan adevarate. Totusi, eu cand demonstrez o implicatie, tot ceea ce
fac e sa pornesc de la ipoteza(despre care se poate sa nu stiu daca e adevarata sau falsa), fac niste rationamente si ajung la concluzie.
Adica, pana la urma implicatia e de fapt un fel de "legatura" intre cele 2 propozitii, indiferent de valoarea de adevar a propozitiei de la care s-a plecat,
deci nu cred ca e neaparat necesar sa scriu "presupunem p(n) adevarata", nu-i asa?

Pana la urma p->q ce inseamna? Inseamna ca adevarul lui p atrage adevarul lui q.
Dar daca p este falsa, mai are sens sa spun ca adevarul lui p atrage adevarul lui q?

De exemplu, iau propozitia falsa -1=1.
Sa zicem ca nu m-am prins ca-i falsa si ridic la patrat ambii membri(desi eu am voie sa fac asta doar daca plec de la o egalitate adevarata, dar in fine).
Obtin 1=1.
Va sa zica eu am demonstrat ca -1=1 implica 1=1??
Adica adevarul lui -1=1 atrage adevarul lui 1=1? Pai nu e un non-sens, deoarece nu putem vorbi de adevarul lui -1=1 ....
Si daca sa zicem ca asta e ceva artificial, acelasi lucru se face si in cadrul demonstratiilor prin reducere la absurd.
EU presupune ceva care pana la urma se dovedeste fals.
ADica s-a pornit de la ceva fals, pe care l-am presupus adevarat??
De exemplu, cand arat ca radical din 2 este irational, eu presupun ca ar fi rational, si iau relatia rad(2)=a/b si o prelucrez pe-acolo. Pai cine-mi da mie voie sa lucrez cu aceasta relatie, care de fapt e falsa??
Cum lucrurile sunt suficient de mult in ceata, as dori sa stiu si alte pareri pe acest subiect.
Mi se pare sau acel tabel de adevar nu surprinde tot ce se intampla intr-o implicatie?? Va sa zica, tabelul de adevar al implicatiei rezulta din proprietatile implicatiei logice, si nu invers. NU pot defini implicatia doar pe baza tabelului. Sau poate pierd eu din vedere ceva.

Inductia matematica este cam urmatorul lucru.

Axiomatic (Peano),
IN este o multime cu o functie succesor (mai apoi cunoscuta sub numele de functia "plus unu") cu proprietatea ca are un element 0 (fara succesor) si cu proprietatea ca orice multime A cu
(0 in A)
si
(s(A) este inclusa in A)
este atunci A=IN.

Inductia matematica se refera la o multime de Propozitii, P(n), n in A, astfel incat:
P(0) este adevarata
pentru orice n din IN are loc: IMPLICATIA P(n) => P(n+1) este adevarata.

Notand cu A multimea acelor n pentru care P(n) este adevarata,
ni se da ca A contine 0 si este "inchisa la aplicarea functiei succesor",
deci rezulta din axioma Peano ca A este IN.

Neintelegerea inductiei in liceu se leaga de faptul ca subtilitatea logica si reliefarea cadrului axiomatic sunt ascunse in cadrul unui formular ce trebuie parcurs. (Este si o subtilitate legata de lucrul cu "Modus ponens"... in logica propozitiilor.)

O demonstratie corecta a unei propozitii de demonstrat prin inductie trebuie:
- sa izoleze propozitia P(n) explicit
- sa arate ce P(0) este o propozitie adevarata
- sa arate ca pentru orice n implicatia P(n) => P(n+1) este adevarata. Pentru a arata acest lucru in lumea de logica booleana in care traim in liceu, lume in care ceva este fie adevarat, fie fals, se face asa: Presupunem P(n) adevarata. Demonstram ca cu aceasta ipoteza si P(n+1) este adevarata.

Orice discutie in plus este o discutie despre logica propozitiilor si trebuie izolata punctat la obiect.
Daca ar trebui sa formulez o intrebare punctata la cele de mai sus, ea ar fi:

Care este valoarea de adevar a propozitiilor:
(-1 = 1) ,
(1 = 1) ,
(-1=1) => (1=1)
(1=1) => (-1=1)
?

Raspunsul este usor de dat si nu vad nici un fel de contradictie logica:
(-1 = 1) fals
(1 = 1) adevarat
(-1=1) => (1=1) adevarat ("Falsul implica orice", lucru bun de stiut in viata,)
(1=1) => (-1=1) fals .

Daca mai sunt probleme, cu incredere (si la obiect)...

Ce mi se pare mie ciudat este urmatorul lucru:

Regula "modus ponens" spune ca daca p este adevarata si p->q este adevarata,
atunci q este adevarata. Adica daca eu stiu ca p->q e o implicatie adevarata, nu pot sa stiu exact valorile de adevar ale lui p si q.
Va sa zica, ca sa deduc q adevarata, eu trebuie sa demonstrez implicatia p->q si sa mai stiu ca si p e adevarata.
Dar se pare insa ca ma invart in cerc.
Cum demonstrez eu implicatia p->q fara a ma lega de valorile de adevar?
Ca am 2 situatii:
ori stiu deja valorile lor de adevar caz in care e inutil chiar si sa formulez implicatia lor
ori nu le stiu, si daca nu le stiu, cum demonstrez eu adevarul implicatiei?? Ca adevarul implicatiei e definit tocmai prin intermediul valorilor de adevar ale lui p si q!!!

[Citat] Ce mi se pare mie ciudat este urmatorul lucru: Regula "modus ponens" spune ca daca p este adevarata si p->q este adevarata, atunci q este adevarata. Adica daca eu stiu ca p->q e o implicatie adevarata, nu pot sa stiu exact valorile de adevar ale lui p si q. Va sa zica, ca sa deduc q adevarata, eu trebuie sa demonstrez implicatia p->q si sa mai stiu ca si p e adevarata. Dar se pare insa ca ma invart in cerc. Cum demonstrez eu implicatia p->q fara a ma lega de valorile de adevar? Ca am 2 situatii: ori stiu deja valorile lor de adevar caz in care e inutil chiar si sa formulez implicatia lor ori nu le stiu, si daca nu le stiu, cum demonstrez eu adevarul implicatiei?? Ca adevarul implicatiei e definit tocmai prin intermediul valorilor de adevar ale lui p si q!!!

Problema nu este deci una de logica, ci una fenomenologica.
(Daca facem ce facem, totul este in regula, dar de ce ne mai incurcam sa facem ceea ce facem, cand stim deja mai usor si direct...)

Uneori ni se da pur si simplu p=>q adevarata. Sau uneori putem gandi mai bine daca izolam pasul p=>q...

Uneori nu ni se dau adevarate p si p=>q, ci ni se da ceva de forma
sunt adevarate: p, p', q', (p'=>q')=>(p=>q) si noi trebuie sa deducem q.

Alteori se combina logica cu proprietati "metalogice", de exemplu legate de numarare. Exemplu: Intr-o camera sunt persoane, P1, ..., P9. Ele discuta ceva, au tot timpul fiecare fie adevarul fie minciuna pe limba, si la sfarsit in conferinta de presa aflam: P1: "o persoana minte", "P2 doua persoane mint"...
In fine problema este de a gasi pe cineva cu care se poate discuta. Solutia este logica si numarare... (Nu am exemplu neconstruit pentru subiectul nostru de discutie insa, dar cam asa ceva se poate imagina...)

Poate ca un exemplu foarte bun este cel cu inductia matematica, care este un principiu, pe care vrem sa-l "demonstram". Cum putem sa-l demonstram?
Ipoteza: P(0) este adevarata si pentru orice n este implicatia P(n) => P(n+1) adevarata.
Pentru a arata P(n) pentru orice n, trebuie sa ne facem o idee. Voi demonstra P(20) ilustrativ.

P(0) este adevata, P(0)=>P(1) este adevarata, deci P(1) este adevarata
P(1) este adevata, P(1)=>P(2) este adevarata, deci P(2) este adevarata
P(2) este adevata, P(2)=>P(3) este adevarata, deci P(3) este adevarata
P(3) este adevata, P(3)=>P(4) este adevarata, deci P(4) este adevarata
P(4) este adevata, P(4)=>P(5) este adevarata, deci P(5) este adevarata
P(5) este adevata, P(5)=>P(6) este adevarata, deci P(6) este adevarata
P(6) este adevata, P(6)=>P(7) este adevarata, deci P(7) este adevarata
P(7) este adevata, P(7)=>P(8) este adevarata, deci P(8) este adevarata
P(8) este adevata, P(8)=>P(9) este adevarata, deci P(9) este adevarata
P(9) este adevata, P(9)=>P(10) este adevarata, deci P(10) este adevarata
P(10) este adevata, P(10)=>P(11) este adevarata, deci P(11) este adevarata
P(11) este adevata, P(11)=>P(12) este adevarata, deci P(12) este adevarata
P(12) este adevata, P(12)=>P(13) este adevarata, deci P(13) este adevarata
P(13) este adevata, P(13)=>P(14) este adevarata, deci P(14) este adevarata
P(14) este adevata, P(14)=>P(15) este adevarata, deci P(15) este adevarata
P(15) este adevata, P(15)=>P(16) este adevarata, deci P(16) este adevarata
P(16) este adevata, P(16)=>P(17) este adevarata, deci P(17) este adevarata
P(17) este adevata, P(17)=>P(18) este adevarata, deci P(18) este adevarata
P(18) este adevata, P(18)=>P(19) este adevarata, deci P(19) este adevarata
P(19) este adevata, P(19)=>P(20) este adevarata, deci P(20) este adevarata

Astfel am demonstrat ca propozitia P(20) este adevarata.
Cam acelasi lucru il putem face cu P(200) la fel.

Cum demonstram insa ca P(n) este adevarata pentru orice n?
Avem nevoie si de "ingrediente din afara logicii", este combinarea logicii cu axioma lui Peano, si aici nu putem spune simplu "dar este clar ca stim p si ca stim p=>q deci stim q". Nu este clar deloc! In momentul in care stim "p=>q", de exemplu "P(1000)=>P(1001)" nu stim deloc daca P(1000) este adevarata sau nu.

Observatia predominanta este poate: "Daca stim sa aplicam modus ponens este bine, este un lucru matematic, daca ne intrebam la ce e bun modus ponens, ne punem o intrebare nematematica, ea se ilustreaza (ilustrarea nu este metoda matematicii...) prin exemple (matematice), desigur ca aceste exemple au o finete/subtilitate anume..."