Fie a,b,c numere complexe distincte doua cate doua. Sa se arate ca daca exista

astfel incat

, atunci

Sa facem cu doua litere normale, u si v, sa mai dispara din puzderia de litere neorganizate ce ne inconjoara...

u = a+c-2b
v = a+b-2c

u+v = 2a-b-c
u-v = 3(c-b)

Ce vrea problema acum de la noi?
Stiind ca u=itv pentru un t real, ni se cere sa aratam ca
|u+v| = |u-v|
Echivalent, ridicand la patrat, putem scrie aceasta egalitate folosind u,v si conjugatele. In aceasta expresie inlocuim u cu itv si vedem daca se simplifica lucrurile de tot.

Ce invatam dintr-o astfel de problema?
Invatam ca poate cel ce a propus-o avea poate o motivatie geometrica, el propune problema, care are ca solutie combaterea redundantei si un calcul algebric banal. Nu pot sa spun ca ne ajuta la ceva, dar e bine sa vedem ca deseori pot apare astfel de "impachetari" care se dizolva ca un balon din apa si sapun.