Pe laturile BC si CD ale paralelogramului ABCD se considera punctele M si N astfel incat BM=CN. Stiind ca centrul de greutate al triunghiului AMN se afla pe segmentul BD, sa se determine unghiul dintre AC si BD.

[Citat] Pe laturile BC si CD ale paralelogramului ABCD se considera punctele M si N astfel incat BM=CN. Stiind ca centrul de greutate al triunghiului AMN se afla pe segmentul BD, sa se determine unghiul dintre AC si BD.

Incerc sa dau solutia vectoriala fara sageti.
Plasez C-ul in origine. Acest lucru il scriu sub forma:

C = 0 .

Fie (vectorul) CB = p.i, unde p=|CB| lungimea laturii, iar i este vectorul normat la lungime unu corespunzator. (Am nevoie de asa ceva, ca sa duc lungimea MB de pe o directie, anume a lui CB, pe alta, anume in CN, pe directia lui CD.)

Fie (vectorul) CD = q.j, unde q=|CD| este lungimea laturii, iar j este vectorul normat la lungime unu corespunzator.

Fie x lungimea comuna |BM| = |CN| .

Nu pot face aici o poza, dar e momentul oportun pe caiet...

...C...N.......D

.M
B..........A

Cam asa trebuie sa stea literele...
Atunci avem "pozitiile fata de C=O":

B = pi
D = qj
M = (p-x)i
N = xj

Centru de greutate al lui (AMN) = (1/3) ( (pi+qj) + xj + (p-x)i )
care este deci (2p-x)/3 . i + (q+x)/3 . j

Un punct pe BD este de forma
lambda B + (1-lambda) C .

La noi dam pentru un astfel de lambda corespunzator, identificand partile in i respectiv j, de

lambda p = (2p-x)/3
(1-lambda)q = (q+x)/3 .

Deci 1 = lambda + (1-lambda) = (2-x/p)/3 + (1+x/q)/3 .
Daca x nu este zero, dam repede de p=q.

Deci paralelogramul nostru este un romb. Diagonalele lui se taie in unghi drept.

[Citat] Pe laturile BC si CD ale paralelogramului ABCD se considera punctele M si N astfel incat BM=CN. Stiind ca centrul de greutate al triunghiului AMN se afla pe segmentul BD, sa se determine unghiul dintre AC si BD.

Deoarece

[Citat] centrul de greutate al triunghiului AMN se afla pe segmentul BD

deducem ca mijlocul segmentului MN se afla pe linia mijlocie a triunghiului DBC, paralela cu DB.

De aici deducem ca daca M este mijlocul segmentului BC, N trebuie sa fie mijlocul segmentului DC, si cum BM=CN, obtinem ca BC=CD, deci paralelogramul este romb, si unghiul cerut este drept.