Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea subiectelor Prahova 2009.




Multumesc,

(I 2 a) Avem un sistem cu trei necunoscute, a,b,c, si doua conditii de legatura intre ele. Repede se exprima b,c in functie de a:

(I 2 b) Daca bisectoarele ar fi concurente, in I sa zicem, atunci gasim repede un cerc de centru I care este tangent la toate patru laturile.
Ne uitam la cele doua tangente din A... din B....
Repede rezulta ca sumele pentru cele doua perechi de laturi opuse...
La noi nu este insa cazul

(I 2 c) Din pacate folosesc o formula "cunoscuta"...
Laturile lui ABCD au lungimile a,b,c,d=a. (Am introdus si d-ul ca sa scriu formula cu d...)
Fie theta = (A+C)/2 .
Fie s semipermietrul patrulaterului ABCD. Atunci avem...

si lucrurile se termina repede daca trecem la cos(2 theta)...


(I 2 d) Aria maxima se obtine pentru cosinusul (A+C) avand valoarea minima, -1.
Acest lucru este posibil, se obtine pentru trapezul isoscel de la (e). Valoarea pentru a se determina usor dupa ce calculam radical din ( 5 -4(-1) ) .

(I 2 e) Daca ABCD este un trapez isoscel, atunci prelungim laturile neparalele de lungime a pana se taie in X. Notam cu x lungimile pentru XB = XC. Din asemanare rezulta x/(x+a) = b/c, deci formand proportii derivate x/a = b/(c-b)...
Destul de repede dam de x=b. Deci triunghiul XBC este echilaterla. La fel si XAD.

Daca cele patru cercuri au un punct comun, din motive de simetrie trebuie sa-l banuim pe bisectoarea unghiului din X al celor doua triunghiuri echilaterale.
Repede ajungem la banuiala ca diagonalele AC si BD sunt perpendiculare in cazul dat. Pentru aceasta, ajunge sa vedem ca lungimile lor sunt egale cu (Pitagora generalizata)

Atunci putem calcula dublul ariei lui ABCD prin
AB . CD . sin( unghiul dintre diagonale)
si prin formula de la (c) - sau mai bine prin diferenta ariilor celor doua triunghiuri echilaterale. Rezulta ca unghiul dintre diagoanle este drept. Intersectia diagonalelor este atunci punctul de pe cele patru cercuri de diametre laturile lui ABCD.

(II 1 b,d)
In ambele cazuri avem b=c.
Atunci matricea A in cauza este de forma

A = (a-b)I + bT

unde I este matricea unitate (in inelul de matrici 3x3),
iar T este matricea cu cele 9 intrari egale cu 1.
Desigur ca TT = 3T.
O solutie X a ecuatiilor XXX = A va comuta cu A, deci si cu T.
(XA = X XXX = XXX X = AX)

Cum arata o matrice care comuta cu T?
Este ea cumva de forma sI +tT ?
Daca da, avem putin de cautat...

(II 1 e) Determinantul unei matrici A de forma specificata este

Pentru cei doi factori nu prea sunt multe sanse, deoarece al doilea factor este mai mare sau egal cu zero, iar 14 nu are prea multe descompuneri...

14 = 1 x 14 = 2 x 7 = 7 x 2 = 14 x 1 .

In plus, diferenta (a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) se divide cu 3.
Raman doar cazurile
( a+b+c , a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ) = (2,7) si
( a+b+c , a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ) = (14,1)

In ultimul caz, suma patratelor pentru (a-b), (b-c) si respectiv (c-a) este 2.
Deci doua dintre numere sunt egale, iar al treilea este cu unu mai mult sau mai putin. Suma este -1 modulo trei, deci "mai putin". Numerele a,b,c sunt deci
5,5,4 intr-una din oridinile posibile.

In primul caz, adunam din nou trei patrate si dam de dublul lui 7, care este 14.
Cum putem sa-l scriem pe 14 ca suma de trei patrate?
1 + 4 + 9...
Mai exista si alte posibilitati? Nu, pe 9 trebuie sa-l luam, altfel nu ajungem din trei bucati la 14 (sau depasim vertiginos), apoi pe 4, iar la sfarsit pe 1.
diferentele sunt deci plus/minus (1,2,3) si de aici trebuie sa mai incercam si sa da de suma 2... Ma opresc aici... E tarziu.

Multumim foarte mult pentru rezolvari!