Daca

,

Probabil ai uitat sa spui ca variabilele sunt pozitive. Hint:

Da, aveti dreptate,

. Am incercat si eu asa, dar nu reusesc sa continui. Ar ajuta inca un mic indiciu. Multumesc!

[Citat] Da, aveti dreptate, . Am incercat si eu asa, dar nu reusesc sa continui. Ar ajuta inca un mic indiciu. Multumesc!

[Citat] Daca ,

Pentru o solutie de liceu (ce evita multiplicatori Lagrange de exemplu), poate ca cel mai indicat este de a avea cat se poate de repede o inegalitate de forma
(Polinom omogen in a,b,c) este mai mare sau egal cu zero,
in acest mod scapand si de conditia de legatura a+b+c=1.

De aceea homogenizam cele date, avand de demonstrat echivalent

unde suma se ia "ciclic" (prin actiunea grupului cu 3 elemente generat de ciclul a->b->c->a) .
Este clar ca daca aceasta inegalitate are loc pentru a,b,c>0 cu a+b+c=1,
atunci ea are loc pentru orice a,b,c>0 . Deci progresul este cel de a ne scapa de conditia de legatura, pretul progresului fiind complicarea eventuala a expresiei.

Din fericire, complicarea este in avantajul ochiului uman (pentru computer, asa ceva nu joaca nici un rol,) deoarece vedem ca
bc+a(a+b+c) = (a+b)(a+c) .
Inegalitatea de demonstrat se rescrie echivalent succesiv:

Acum aplicam ingalitatea mediilor pentru suma de sase termeni din membrul stang al inegalitatii.

(Am incercat sa dau solutia cu cele mai putine artificii.)

Multumesc mult amandurora. Dar din pacate tot nu reusesc sa continui dupa al doilea hint al lui alex. Are legatura cu

?

[Citat] Daca ,

Tinand cont de

si de analoage, inegalitatea este echivalenta cu:

Folosim Cauchy-Schwarz:

Ramane de demonstrat ca:

care dupa dezvoltare se reduce la

.

Pe drumul acesta m-am dus si eu, dar ma incapatanam sa folosesc

direct la numitor (pentru toti cei 3). Multumesc.