ACesta este subiectul I de la titularizare 2004
Se consider? polinomul f=x^3+3x^2-1, cu r?d?cinile x1,x2,x3 apartin lui C.
a) S? se calculeze f(-3), f(-1), f(0) ?i f(1) . (asta l-am facut)
b) S? se arate c? toate r?d?cinile polinomului f sunt reale.
c) S? se arate c? polinomul f nu are r?d?cini ra?ionale.
Pct b) si c) nu stiu sa fac ma poate ajuta careva?
Va multumesc

Obs. Subiectul pe care il am eu contine mai multe subpuncte,cele prezentate mai sus fiind doar de "incalzire"

M-ati putea ajuta sa rezolv toate subiectele de la pucntul I nu prea ma descurc...sau daca aveti cumva subiectele din anii anteriori rezolvate sa mi le trimiteti si mie va rog frumos.
Este cineva de pe forum care are sa imi trimita si mie rezolvari la subiectele din anii trecuti la titularizare va rog frumos

Multumesc frumos pt rezolvarea de mai sus!

Pct d) l-am facut cu ajutorul relatiilor lui Viete mi-a dat S1=3 si S2=9 insa restul nu mai stiu sa fac

s1=-3

ptr punctul f ,g,h imi poate da cineva indici?
adica la f e ceva cu Sn=-3Sn+Sn-2
la g am incercat cu Tn=a^n+b^n ,dar depinde oarecum de punctul anterior, iar ptr punctul h am incercat tot cu inductie
primul subiect
http://www.mateinfo.ro/examene-titularizare-definitivat-grad-matematica-profesori/cat_view/67-examene-profesori-2011/68-titularizare-matematica-2011/69-titularizare-matematica-2004

e) se scriu relatiile:
f(x1)=0 /*x1^n
f(x2)=0 /*x2^n
f(x3)=0 /x3^n
se aduna si se obtine relatia ceruta.

f) ind mat.
S1, S2, S3 ap ZZ (rel Viete)
presup ca Sk apartine ZZ oricare ar fi k<=n, deci Sn, Sn-1, Sn-2 ap ZZ, at conform pct e), Sn+1 = -3*Sn + Sn-2 ap ZZ.

g) 1-rad2 si 1+rad2 sunt radacinile ecuatiei x^2-2X-1 polinom cu coef intregi.
Si se procedeaza ca la e) + f).

h) exista a si b rationale, a<b a.i. (a,b) inclus in I.
se poate arata ca exista m cu 0<m<(b-a)/2 liber de patrate, deci rad(m) irational.
Pt. p par. p=2k luam ai = (a+b)/2+ rad(m)/(i*(b-a)), i=1,..,k si celelalte conjugatele lor. Ele vor fi radacinile unui polinom de grad p cu coeficienti rationali. Si procedand ca la pctele e, f si g se va dem relatia ceruta.
Pt. p impar, p=2k+1 se iau primele 2k nr la fel ca mai sus si se dem ca mai exista un numar q intre a si b care sa nu fie puterea a n-a a unui nr rational. Atunci ap = rad de ordin n din q este irational si ap^n este rational.

[Citat] (h) ... Atunci ap = rad de ordin n din q este irational si ap^n este rational.

Acel n nu este fixat, trebuie sa gasim ceva ce e bun pentru "toate n-urile".

Pilotarea este o aluzie care cred ca vrea sa oblige rezolvitorul sa le ghiceasca gandurile.

(Cu cunostinte de teorie Galois nu avem desigur nimic de facut...
Dar aici trebuie sa mesterim ceva daca e asa de "greu de vazut" ca (1+a)^n + (1-a)^n este intreg / rational daca a este radical dintr-un numar intreg resp. rational >0 .)

Probabil ca solutia intentionata este...
Orice numar natural mai mare decat 2 se scrie ca o "suma de 2-uri si un sau nici un 3". De exemplu 2=2, 3=3, 4=2+2, 5=2+3, 6=2+2+2, 7=2+2+3, 8=2+2+2+2, 9=2+2+2+3, etc.

Ori de cate ori avem o astfel de scriere ne luam pentru fiecare 2 o pereche de "conjugate" (Galois) de forma p+aq si p-aq cu a radical din 2 (de exemplu). Putem sa luam si luam perechile fara repetari. Pentru descrierea si "mai simpla" a cazului, este bine sa observam ca mai sus ca putem sa ne reducem la cazul I = (r1, r2) cu r1,r2 rationale, pe care sa-l punem liniar in relatie cu J = ( -10, +10 ) de exemplu, unui x din I corespunzandu-i y = -10 + 20(x-r1)/(r2-r1) din J.

Ne reducem deci la I de forma J=(-10,10).
Aici traiesc si cele trei radacini ale polinomului din execitiu, caz in care problema a vrut foarte pedant sa aratam ca suma puterilor de orice ordin n a radacinilor lui este ceva intreg. Ei bine, le luam pe acestea in lista x-urilor daca apare "coada" ...(+2+2+2)+3.

P.S. O sa revin cel mai bine pe indelete.
Cumva nu ma satisface faptul ca oamenii nu au acces la cod si ca tot trebuie sa dea cate un clic pe
http://www.mateinfo.ro/examene-titularizare-definitivat-grad-matematica-profesori/cat_view/67-examene-profesori-2011/68-titularizare-matematica-2011/69-titularizare-matematica-2004.
Si aici ma refer la toti oamenii care dau clicuri.
Trebuie sa devina clar ca subiectele trebuie publicate CU codul latex in care ele vin. Pentru profesorii (de liceu si facultate) si pentru elevii constiinciosi este foarte usor sa ia fisierul electronic si sa il completeze cu ideea solutiei in modul natural, cu propriile comentarii si idei.

Corect, relatia tb sa fie verificata oricare ar fi n natural.

Pentru p =3 m-am gandit sa ne folosim de polinomul f care are 3 radacini irationale in intervalul (-3, 1).
Fie g functia liniara care transforma intervalul (a,b) in (-3,1):
g(x)=(4/(b-a))*x-(a+3b)/(b-a), care are coeficienti rationali.

Luam a1=g^-1(x1), a2=g-1(x2) si a3=g-1(x3).
a1, a2, a3 sunt irationale, sunt in intervalul (a,b) si sunt radacinile functiei f compus cu g care are coeficientii rationali.
Va rezulta cf punctelor anterioare ca a1^n+a2^n+a3^n este rational.

Pentru p>3 impar, luam aceste 3 numere, iar restul (in numar par) ca in cazul p par.