| Autor |
Mesaj |
|
|
Sa se arate ca in orice triunghi avem:
|
|
|
[Citat]
Sa se arate ca in orice triunghi (nedegenerat) avem:
|
Sa observam ca putem rescrie acel cos(A/2) drept
sin( pi/2-A/2 ) = sin( (pi-A) / 2 ) = sin( (B+C)/2 ) .
Atunci inegalitatea de demonstrat devine
Prima solutie "vede" mai sus o inegalitate (Jensen) care are de-a face cu convexitatea / concavitatea unei functii. De aceea solutia (de a XI-a) incepe prin a calcula a doua derivata a functiei:
( 0, pi ) -> IR ,
f(x) = 1 / sin x pentru orice x in domeniul de definitie (0,pi) .
Care este formula pentru f'' ? Are f'' semn constant ? Se afla graficul lui f intre doua puncte B, C din (0,pi) "sub" sau "peste" segmentul ce uneste punctele de pe grafic
( B, f(B) ) si ( C, f(C) ) ?
Cum se scrie inegalitatea ce poate fi vizionata astfel ?
A doua solutie nu vrea sa vada nimic, vrea doar punctele cu cunostintele de a IX-a.
De aceea incercam sa aducem expresiile din zona "la un numitor algebric comun", adica sa ne scapam de sinusuri de unghiuri diferite si sa avem ceva algebric.
Nu imi vine atunci altceva decat sa aplic:
sin B = sin( B/2 + B/2 ) = 2 sin(B/2) cos(B/2) ,
sin C = ... ,
sin (B/2 + C/2) = ...
si sa inventez numere x, x' ; y',y' la indemana incat sa avem:
sin B = 2 xx'
sin C = 2 yy'
sin (B+C)/2 = xy'+x'y .
Dam atunci de o noua inegalitate in x, x'; y,y' pe care speram sa o putem arata, daca nu putem, trebuie sa ne amintim ca x,x' satisfac...
De aratat:
1 / (xx') + 1/ (yy') este mai mare sau egal cu 4 / (xx'+yy') .
Aducem la acelasi numitor (vazand ca x,x',y,y' > 0) si avem echivalent de aratat ca
( xy'+yx' ) ( xx'+yy' ) este mai mare sau egal cu 4 xx'yy' .
Eu as incerca acum inegalitatea mediilor, e singura permisa si unanim acceptata pe a IX-a de catre elevii de a IX-a...
---
df (gauss)
|
|
|
Dar asa....?
(TITU ANDREESCU)
cu egalitate daca
.
Deci
---
Doamne ajuta...
Petre
|
Access general
Conţine mesaje necitite
