(I)
(1a) f(1) = 2a + 0 +(2-a) -a-1 = 1
(1b) f este continua pe IR ca suma de functii continue. (Termenii vizibili. Acestia sunt fie liniari (caz particular de polinoame) in x fie compunere de functia continua "modul" cu astfel de...)
(1c) Este clar ca functia data este liniara pe portini, anume pe intervalele din IR delimitate de -1 si +1,
( -oo , -1 ]
[ -1, 1 ]
[ +1, + oo ]
Ajunge sa calculam una sau ambele dintre valorile f(0) si f(-1) ca sa ne dam seama cine e f pe [-1,1].
O intrebare am: Cu ce panta trebuie sa plece (respectiv sa ajunga) f din +1 (respectiv in -1) pentru ca sa avem (sanse de) bijectivitate?
(1d) Inversa este in caz de existenta de asemenea liniara pe portiuni... Ajunge sa scriem legile liniare pe portiuni.
(2) Ni se cere (cu notatiile uzuale)
a cos(A) + b cos(B) + c cos(C) = (abc) / (2RR) .
Mie mi-a iesit repede in modul urmator.
Notez cu O centru cercului circumscris.
Atunci
suma ciclica de ( R a cos(A) )
=suma ciclica de ( R a cos( BOC/2 ) )
=suma ciclica de ( R a sin( OBC ) )
=suma ciclica de ( 2 Aria( OBC ) )
= 2 Aria( ABC )
= 2 S
care este de 2 ori (abc)/(4S) dintr-o formula cunoscuta.
Dar daca nu este chiar asa de cunoscuta...
2 S = bc sin(A) = bc sin( BOC/2 ) = bc . (a/2)/R ...
(3) Ni se da polinomul nostru cu trei parametrii a,b,c si divizibilitatea cu un polinom ce se anuleaza in 1,2,-2. Avem deci de rezolvat un sistem. Aici e clar ca dau drumul la masina de calculat:
sage: P(a,b,c,x) = x^5 -7*x^4 + 15*x^3 + a*x^2 + b*x + c
sage: solve( [ P(a,b,c,1) == 0, P(a,b,c,2) == 0, P(a,b,c,-2) == 0 ] , a,b,c )
[[a == 15, b == -76, c == 52]]
sage: P(a,b,c,1) == 0
a + b + c + 9 == 0
sage: P(a,b,c,2) == 0
4*a + 2*b + c + 40 == 0
sage: P(a,b,c,-2) == 0
4*a - 2*b + c - 264 == 0
sage: Q(x) = P(15,-76,52,x)
sage: Q(x)
x^5 - 7*x^4 + 15*x^3 + 15*x^2 - 76*x + 52
sage: Q(x).factor()
(x - 2)*(x - 1)*(x + 2)*(x^2 - 6*x + 13)
(Cei ce nu doresc sa stie de avantajele acestui secol sunt rugati sa se gandeasca ca poate generatia copiilor nostri nu mai are sa stie de avantajele secolului trecut.)
Cele de mai sus se obtin usor cu schema lui Horner, pentru cei ce n-au taiat-o din lista.
Sper ca e clar acum cine sunt u si v, mai exact cine sunt u+v = 6 si uv = 13 de unde...
Ce vrea (3c) de la ochii nostrii? (Nu vad puterea din suma... Pare a fi un n, dar n-ul nu e amintit nicaieri...
)
(II)
(1a) In principiu nu stim cine este n, plec de la ideea ca este un numar natural intre 3 si infinit.
Avem de rezolvat
n(n-1)(n-2) / 6 <= 10 .
Este clar ca functia de n din stanga inegalitatii este strict crescatoare pentru n mai mare sau egal cu 3, iar valorile ei pentru n mic sunt:
sage: for n in [3..10]: print n , Combinations( n, 3 ).count()
....:
3 1
4 4
5 10
6 20
7 35
8 56
9 84
10 120
sage: for n in [3..10]: print n , n*(n-1)*(n-2) / 6
....:
3 1
4 4
5 10
6 20
7 35
8 56
9 84
10 120
(1b) Ni se cere vag ceva de forma
Lucrurile sunt vagi, pentru ca iar nu stim cine e n.
Propun sa plecam cu formula pentru
si sa derivam, apoi sa inmultim cu x, iar sa derivam. Ce obtinem particularizam in ...
Cele de mai sus merg bine poate pentru n mai mare sau egal cu 3.
Cel mai bine insa ne legam de cel ce a propus problema si sa-l intrebam daca n poate fi 1 sau 2...
sage: for n in [1..10]: print n, sum( [ k^2 * binomial( n, k ) for k in range( 1,n+1,2) ] ), n*(n+1)*2^(n-3)
....:
1 1 1/2
2 2 3
3 12 12
4 40 40
5 120 120
6 336 336
7 896 896
8 2304 2304
9 5760 5760
10 14080 14080
(2)
In interiorul cubului ABCDA'B'C'D' cu latura de 9 se considera 1981 puncte.
(2a) Care e distanta de la A la diagonala A'C ?
In triunghiul dreptunghic A'AC laturile sunt cunoscute,
catetele sunt a=9 si d=(9 ori radical din 2) iar ipotenuza D=...
Daca h este distanta cautata, atunci aria lui A'AC este ad/2 = Dh/2 de unde h=...
(2b) Sa se arate ca printre cele 1981 puncte considerate exista cel putin doua cu proprietatea ca distanta dintre ele este mai mica decat unu.
Ei vor probabil o aplicare a principiului lui Dirichlet, dar eu nu vreau asa ceva...
Sa notam cu
a
distanta minima dintre doua puncte intr-o plasare a punctelor.
Ocupam cu plastilina in jurul fiecarui punct dintre cele 1981 puncte date o bila plina.
Bilele nu se vor intersecta (in ceva de volum nenul).
Ele vor incape in cubul de latura (9+2a) . De aici rezulta inegalitatea:
Aici am luat poate f : (0 , oo) -> IR .
Semnul functiei f' se stabileste usor.
De aici si intervalele de monotonie pentru f.
In orice caz, f'(0) < 0 si f(0) < 0 ,
deci graficul lui f de la zero incolo "a trecut deja de primul extrem relativ al cubicei", deci mai are un extrem relativ pe ( 0, oo ) de unde o taie strict crescator spre infinit.
Radacina lui f se afla usor cu computerul,
var( 'a' ) # declar nedeterminata a pentru polinomul ce vine
f = 1981 * 4*pi/3 * a^3 - (9+2*a)^3;
f.roots( ring=RR )
[(0.493277538122324, 1)]
sage: f(1/2)
1981/6*pi - 1000
sage: f(1/2).n()
37.2491744602301
Pe scurt, am aratat ca distanta a este mai mica decat 1/2 - lucru usor verificabil cu calculator de buzunar.
(De fapt, numeric am aratat ca distanta a este mai mica decat 0.493277538122325 .)
Daca vrem mai mult, trebuie sa stim ceva despre "sphere packing",
http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing...
Access general
Conţine mesaje necitite
