Din pacate subiectele nu sunt oferite in tex.
(Dar sunt tiparite in tex. A se lua asa ceva drept exemplu negativ.)
(I)
(a) Ni se cere I(2), care este integrala unui polinom. Banuiesc ca ne da ce ii da si computerului:
def myI(n):
return integrate( (x-x^2)^n, (x,0,1) );
myI(2)
1/30
Cine vrea, poate calcula mai bine I(0)=1 si astepta momentul oportun cu recurenta.
(b) Functia de gradul 2, [0,1] -> IR, x-> (x-xx) = x(1-x)
este o prada usoara, ea este mai mare sau egala cu 0 si ia maximul in 1/2 care este 1/4.
(c) Integrala are proprietatea de monotonie. Aplicand--o pe
(d) Fie n mai mare sau egal cu unu numar natural. Atunci trucul obisnuit de a face rost de o formula de recurenta este cel de a complica lucrurile scriind:
apoi scriindu-l pe acel unu ca (ceva)'.
Trebuie intotdeauna sa vedem ca avem un grad de libertate in a alege primitiva lui 1.
Alegerea buna ne da recurenta buna.
Anume, dupa ce aplicam integrarea prin parti, vedem ca am vrea ca sa gasim un <a> astfel incat:
(x-a) (x-xx)'
sa se rescrie ca o combinatie liniara de 1 si (x-xx). Destul de repede dam de a=1/2.
(Eu l-as fi incercat din prima, nu m-as fi lasat indus in eroare de cei ce-mi muta punctul de simetrie din zero putin mai acana.)
(Cel ce-a propus problema scrie si asa recurenta ca si cum se duce spre minus infinit cu n-ul... O face special pentru mine, ca sa ma enervez deja si sa gresesc la calcule poate. Dupa aceea am facut calculele si m-am enervat si mai tare, formula tiparita este falsa, in loc de n+1 trebuie sa stea un n-1... si acum arata a formula de recurenta macar. Care are loc incat sa lege si I(1) de integrala banala I(0)=1...)
(e) Inductiv.
(f) Inductiv din relatia de recurenta.
(g) 0 este minorant pentru termenii sirului, un sir majorant (care converge la 0) il avem din (e). Cleste.
(II)
(A)
sage: sin( 4*pi/5 ).n()
0.587785252292473
sage: sin( 3*pi/5 ).n()
0.951056516295154
Deja greselile de tipar ma aduc la exasperare. Ca si cand n-ar avea o poligrafie in Sibiu.
(b) Trebuie sa gasim o ecuatie de gradul doi satisfacuta de cos(pi/5).
Cel mai simplu mod de a o obtine este poate asa:
Se considera triunghiul isoscel cu unghiurile
pi/5, 2 pi/5, 2 pi/5
si cu laturile 1,1,x,
se duce bisectorea unuia din cele doua unghiuri de 2pi/5, se obtin mai multe triunghiuri isoscele pe figura, de unde formula pentru asemanare (sau teorema bisectoatrei) ne dau 1/x = x/(1-x) .
De aici x este (sqrt(5)-1)/2 .
Apoi scriem poate formula lui Pitagora generalizata care exprima
1.1 + 1.1 - x.x
in functie de cos de unghiul opus lui x.
Se poate si altfel, dar e pacat sa evitam proportia de aur intr-o vreme in care este recomandat sa investim in aur.
(c) Daca numarul dat este rational, atunci si patratul lui este, deci
sin( doua grade ) ar fi rational.
Exista o formula (de Moivre) care leaga cos(nx) de C=cos(x) si S=sin(x).
Daca n este par, avem doar monoame in C si S care sunt in ambele variabile de grad par.
Desigur, SS = 1-CC si CC = 1-SS, deci putem scrie totul fie ca un polinom in C doar cu termeni de grad par in C, fie ca un polinom in S doar... Ei bine in cazul nostru...
(B)
(1)
Ni se cer
(a)
Avem desigur ra+rb+rc = 2S, i.e. rp = S.
Pentru prima relatie ne legam mai bine de relatia echivalenta:
S = 4Rp sin(...
Chiar si mai bine poate de
SS = 4RS p sin( ...
Ajunge sa folosim acum
SS = p(p-a)(p-b)(p-c) [Heron]
4RS = abc
sin(A/2) = radical( (p-b)(p-c) / (bc) )
Mie asa mi-a iesit cel mai simplu.
Probabil ca rationamentul se poate scurta...
(b) Fie I centrul cercului inscris in ABC.
AI este bisectoarea unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza AI si catetele r si (p-a). Atunci sin(A/2) este
r / AI .
Si vrem sa vedem ca dam de ceva mai mic sau egal cu a/(b+c).
Comparam deci 2r(b+c) = Aria(AIB) + Aria(AIC) si 2 AI a .
Fie A' pe BC si AI.
Luam A'' intre A si A' cu AI = A'A''. Atunci
(c) Din (b), ajunge daca aratam ca 8 abc este ceva mai mic sau egal cu
(a+b)(b+c)(c+a) .
Daca aplicam inegalitatea mediilor, avem (a+b)/2 ...
(2)
(a,b,c) Cel mai bine e sa lucram cu aI+bS in loc de matricea... unde S este matricea cu intrarile [0,1,2,0] din ZZ modulo 5, de obicei notat cu (ZZ/5). In cazul nostru, avem de-a face chiar cu un corp, ZZ/5 este IF(5), "General Field" GF(5), ...
Multimea data, dotata cu operatiile mostenite de pe inelul matricilor 2x2 peste GF(5), este deci izomorfa cu structura:
(ZZ/5) [Y] modulo idealul (YY-2) .
Deoarece YY-2 nu are radacini in (ZZ/5), dam de un corp. (Teorema...)
Intr-un corp avem mereu inverse pentru ceva nenul.
Iar ecuatia (XX-1)=0 revine la (X-1)(X+1)=0, care se rezolva usor in orice corp.
(2)
In inelul nostru A ("annoying anneau")
avem deci x^6=x pentru orice x.
(a)
In liceu inelele sunt au o unitate, 1.
Mai exista deci si 1 in inelul asta, altfel nu e bine.
Notam ca de obicei (pentru ZZ-algebre ~ inele)
2=1+1
3=1+1+1
...
Deci 32=2, i.e. 30=0.
Si 729=3, i.e. 726=0. Din cele de mai sus avem si 720=0. Facem rost de 6=0.
Ne mai legam si de 5^6-5 = 0 in A.
In ZZ ne uitam la 5^6-5. Luam acest element din ZZ modulo 6 si dam de (-1)^6-(-1) = 1+1=2.
Destul de repede vedem ca si in inelul A dat avem 2=0.
Pentru cei din liceu rescriu 1+1=0.
Inmultind cu un x... (orice x aici si unde mai apare mai jos...)
0 = 0.x = (1+1)x = 1.x + 1.x = x+x
(b)
Scriem si relatia
(1+x)^6 = 1+x
Coeficientii binomiali ce apar sunt
1, 6=0, 15=1, 20=0, 15=1, 6=0, 1.
De aceea dam de x^4+x^2=0.
Deci x^4 = -x^2.
Deci x^6 = -x^4.
In sfarsit:
x = x^6 = -x^4 = -(-x^2) = x^2.
(c) Fie x,y arbitrare
Scriem (x+y)=(x+y)(x+y) .
Deci
x + y = xx+xy+yx+yy .
Deci folosind x=xx si y=yy rezulta
0 = xy+yx.
Deci yx = -xy = xy.
Inelul dat este comutativ.
(III) Subiectul III este neclar...
"Sa se introduca o notiune la alegere, din:
Vectori - clasa a IX-a
Element neutru - clasa a XII-a."
(Nu inteleg unde sa se introduca... A "introduce" si a "prezenta o introducere pentru o tema/un subiect" sunt pentru mine lucruri diferite. Acel "din" ar trebui scris mai bine "la alegere dintre" ca sa inteleaga fiecare cum trebuie, daca asa trebuie...)
Access general
Conţine mesaje necitite
