[Citat]

Am schimbat putin notatiile date, pentru ca tiparesc litere in editor si mi-e greu sa bag indici in indici. Ochelaristii declarati, dar mai ales cei nedeclarati ma inteleg.
Am mai introdus si k=0, dar atunci trebuie sa introduc si conventia "zero la zero e unu" pentru scopurile acestei probleme.

Desigur ca primul lucru este sa ne facem tema de casa pentru primele valori ale lui n.

n = 0. T(0) = {0,1} partitionata in A(0)= {0} si B(0)= {1} de exemplu, simgura sansa daca ne decidem ca zero sta in A(...). Suma puterilor de ordin zero coincide cu conventia noastra 1=1.

n = 1. T(1) = {0,1,2,3} partitionata in A(1)= {0,3} si B(1)= {1,2} de exemplu, simgura sansa daca ne decidem ca zero sta in A(...). Suma puterilor de ordin zero coincide cu conventia noastra 1+1=1+1. Suma puterilor de ordin 1 ne pune sa alegem 0+3 = 1+2. Nu vad altfel.

n=2. Solutia ni s-a dat. Putem ajunge cumva recursiv de la partitia lui T(1) la cea cu T(2) ?

Daca ghicitoarea nu este chiar asa de usor de pulverizat, iata care este solutia (unica daca zero e in A(3)) pentru

n=3: T(3) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} ;
A(3) = { 0,3,5,6, 8+1,8+2,8+4,8+7 } iar 8 este 2 la a 3-a.
B(3) = ...

(In definitiv sunt bune si computerele astea la ceva.)

Introduc o notatie, putin abuziva, dar numai cei ce nu vor sa inteleaga inteleg ce nu vor sa poata sa inteleaga... (La olimpiade mai eram depunctat...)

Daca X este o submultime a lui IR si daca a este un numar din IR, notez cu
a+X
imaginea aplicatiei din X in IR care trimite x in a+x.
(Un fel de operatie exterioara indusa de cea din IR.)

Sa demonstram deci inductiv ca urmatoarea alegere este buna recursiv (=inductiv):

Formeaza inductiv o partitie (a lui T(n+1))? Da...

Exemplu:
A(3) = A(2) U (8+B(2))
= { 0,3,5,6 } U ( 8"+"{ 1,2,4,7 } )
= { 0,3,5,6 } U { 8+1,8+2,8+4,8+7 }
= { 0,3,5,6, 8+1,8+2,8+4,8+7 }

Inceputul inductiei...
La inceput am verificat deja pana sa vedem cum "merge problema" ca merge.
Sa presupunem ca A(n) si B(n) sunt numa' bune...

Fie acum un k intre 0 si ...
Notez cu P puterea lui 2 care intervine in formulele de mai sus. Tiparesc mai putin si ne putem concentra pe ce trebuie.
Atunci (incerc sa nu las nici un pas la o parte):

(Am notat coeficientii binomiali asa cum se noteaza ei in lume. Nu inteleg de ce sa ii ascund ca indici mici ai unui C care este fie carbon, fie vitamina, dar care rareori ne aduce aminte de combinari. Notatia cu C indice k sus, indice n jos a fost probabil introdusa de catre tipografii romani din secolul XIX ca sa arate ca fara ei nu se poate la zetzar.)

Si aici ne oprim ca sa mai rasuflam ca inainte de munca propriu zisa.
Tare am vrea in cele de mai sus sa schimbam "A-ul" cu "B-ul". Putem?

Pai daca avem de lupta cu un k "care a fost bun si pentru spargerea T(n) = A(n) U B(n)", atunci putem fara probleme.

Care k ne da de furca inca ? "Ultimul"...
Pai la ce revine suma de paranteze drepte pentru acest ultim index? Coeficientul binomial este unu, cum e el mereu la inceput si la sfarsit.
Puterea lui P este de ordin zero, cum e intotdeauna cand luam in formula binomiala "dincolo" puterea maxima.

Obtinem deci suma dupa puterea ultima a unui x ce se plimba in
A(n) U B(n) .
Cel tarziu aici e clar ca putem schimba A(n)-ul cu B(n)-ul.

(Cu titlu de curiozitate, intr-o situatie analoaga am fost intrebat "Dec ce...?" Raspunsul meu a fost "...din comutativitate" si am fost imediat lasat in pace in examen. Comutativitatea pe IR este "ceva banal" si de cele mai multe ori neluata in serios. In astfel de cazuri ea ajuta aluziv sau nu in comunicarea dintre matematicieni, mai ales ca aici se loveste esenta cu un cuvant.)

Solutia este acum schimbarea lui A cu B mai sus si completarea unui formular de formule "in oglinda".

Multumesc pentru problema propusa!
(Scriu la un fel de carte de matematica si sisteme algebrice computerizare. Exact astfel de probleme explica care este aisbergul de efort matematic din spatele solutiilor. Uneori, computerul ne ajuta sa "vizionam" mai repede un "model" (pattern, Muster...) si sa avem strategia de atac.
Dar in primul rand trebuie mentionata calitatea estetica, problema si solutia se foarte uita greu...)

Excelenta solutie!
Totusi, o simplificare e posibila: