Cum calculez limita cand x tinde la zero din(x-sinx)supra x la a3a fara l'hospital

Probleme de forma "cum demonstrez/calculez ceva fara..." nu sunt de natura matematica.

Totusi, o incercare de raspuns poate fi data. Iata doua posibilitati...

(1)
Folosim polinomul Taylor de ordin patru pentru dezvoltarea functiei sin in jurul lui 0 si exprimarea cu un punct intermediar a restului.

(2) Facem acelasi lucru, dar explicit. Consideram functiile ajutatoare

Calculam
f(0), f'(0), ...
g(0), g'(0), ...
pana dam de o derivata nenula in zero. Atunci si f(x) respectiv (pentru un alt ordin de derivare) g(x) va avea acelasi semn pe un interval in jurul lui zero.
Folosim acest lucru pentru a stabili semnul acelei derivate pe acest interval mic in jurul lui zero. Astfel stim ceva despre functia respectiva inainte de derivare.

Putem folosi aceste informatii pentru a gasi semnul lui f, respectiv g.
Obtinem cu munca o incadrare a lui sin intre cele doua polinoame pe care le scadem pentru a obtine f si g.
Din aceasta incadrare folosind criteriul clestelui obtinem si informatia despre limita lui ( sin(x) - x ) / x³ cand x->0 .


N.B. In astfel de cazuri trebuie sa fim cinstiti. Voi face o observatie care sper sa fie inteleasa in sensul metodicii din matematica (si didactica), nu in sensul unei reviste de umor. Modul de abordare de mai sus este paralel cu cel in care in loc sa cumparam paine de la coltul strazii, ne cumparam un elicopter, facem pista e decolare / aterizare la coltul strazii, decolam, intrebam satelitul prin unde radio din elicopter unde ne putem cumpara paine in jur, acesta ne trimite la coltul unei strazi din apropiere unde intamplator se afla si un petec de aterizare pentru elicoptere.

Merge fara l'Hospital daca presupunem ca limita este reala finita (se face substitutia

).

Bun, sa presupunem deci ca exista

Trucajul de a gasi o relatie pentru L din ecuatia functionala a lui sin nu ajuta la intelegerea limitei, in plus trebuie sa folosim existenta lui L pentru a vedea ca ( sin t / t ) tinde la 1 pentru t spre 0.

Intelegerea matematica merge insa altfel. Acel 1/6 este 1/3! . Calculul de mai sus ma indeparteaza din ce in ce mai mult de cunoastere. Cine are astfel de idei de pilotare in zilele noastre?! In ce directie imping oamenii astia matematica fara sa intrebe in jur?! Existenta unei limite devine o bagatela si un lucru usor de acceptat in calcul in comparatie cu un truc accidental ce se bazeaza pe existenta ei?


N.B. Draga Alex2009, multumesc mult pentru postare / indicatie, astfel am inteles cum gandesc si propun unii oameni si am putut (si a trebuit) sa ma apar (ce-i drept vehement).

Multumesc din suflet....aveti dreptate
Acum as vrea sa ma justific....am intalnit aceasta limita incercand sa demonstrez continuitatea unei functii cu doua ramuri....pe prima ramura este expresia noastra pt x real fara 0,iar pe a doua ramura 1/6, pt x=0.de aceea am exclus l'hospital.