Buna ziua! Am cateva nelamuriri legate de problemele in care se cere sa demonstram ca un anumit polinom este ireductibil peste o anumita multime. Cum trebuie sa abordam aceste probleme? Trebuie sa ne folosim de anumite teoreme?
Si care este legatura intre ireductibilitate si radacini?
De ex: Cand polinomul este de gradul 2 sau 3 si nu are radacini => este ireductibil. Dar in rest, acest lucru nu este adevarat...?
Va multumesc mult!

[Citat] Am cateva nelamuriri legate de problemele in care se cere sa demonstram ca un anumit polinom este ireductibil peste un inel (sau chiar corp), de exemplu peste ZZ, Q sau IR. (1) Cum trebuie sa abordam aceste probleme? (2) Trebuie sa ne folosim de anumite teoreme? (3) Si care este legatura intre ireductibilitate si radacini? De ex: Cand polinomul este de gradul 2 sau 3 si nu are radacini => este ireductibil. Dar in rest, acest lucru nu este adevarat...?

(1) ZZ si Q sunt inele deosebite, ele au o aritmetica. Exista o teorema care ne spune ca un polinom MONIC (coeficientul principal = 1) cu coeficienti intregi se factorizeaza peste Q daca si numai daca aceeasi factorizare are loc peste ZZ. (Nu pot apare numitori "din senin", lema lui Gauss.)
Spargerea peste ZZ a polinoamelor din ZZ[X] este algoritmica. (Exista o margine pana la care putem cauta coeficientii. Aceasta este o munca usoara pentru computer, dar nu si pentru om.)
De asemenea, posibilitatea descompunerii peste ZZ atrage dupa sine si posibilitatea descompunerii peste inele de forma ZZ modulo p (p prim ajunge).
Uneori vedem ca dam mod p de un polinom ireductibil, de asemenea lucru usor verificabil in grade mici sau pe computer...

(2) si (3) Daca gradul polinomului este mic, 2 sau 3, descompunerea se poate face doar incat sa corespunda descompunerii gradului ca 2=1+1 sau 3=2+1=1+2.
Deci avem un factor liniar, deci ajunge sa cautam radacini in inelul / corpul despre care e vorba.

Si in cazul unui polinom monic de grad 4 din ZZ[X] -daca cautam radacini in ZZ sau Q - putem sa ne uitam mai intai dupa radacini. Daca nu dam de radacini, trebuie sa cautam doua polinoame monice de grad doi cu discriminantul... si cu termeni liberi ai caror produs... Destul de repede putem decide cum stau lucrurile.

N.B. Dat fiind un polinom, putem foarte repede folosi softurile libere pentru a avea cu aproximare corespunzatoare radacinile. Daca toate sunt complexe nu mai avem probleme.

N.B.2. Cel mai usor se tanseaza astfel de intrebari prin acoperirea catorva probleme explicite. Ce polinom face de exemplu probleme?

Multumesc, am inteles cum e cu ireductibilitatea, dar mai am o intrebare legata de polinoame: Doua polinoame sunt egale atunci cand coeficientii puterilor respective sunt egali? Este valabil si pentru polinoame cu coeficienti intr-un inel?
de exemplu: a^2x^2+2abx+b^2=1 cu a, b apartin lui Z4
inseamna ca a^2=0, 2ab=0, b^2=1 ?
Si mai sunt cazuri in care polinomii difera, dar au aceeasi functie polinomiala...

doar pentru polinoamele peste corpurile C, Q, R exista echivalenta f=g <=> functiile polinomiale ale lui f si g sunt egale?

Multumesc mult!

[Citat] Doua polinoame sunt egale atunci cand coeficientii puterilor respective sunt egali? Este valabil si pentru polinoame cu coeficienti intr-un inel?

Da, daca avem un inel R doua polinoame

a + bX + cXX + ... (se termina undeva in grad N) si
a' + b'X + c'XX + ... (se termina undeva in grad N')

sunt egale daca si numai daca (prin constructie)
N=N' si
a=a', b=b', c=c', ...

[Citat] Si mai sunt cazuri in care polinomii difera, dar au aceeasi functie polinomiala...

Fie R un inel. Sa luam mai intai cateva cazuri particulare, ca sa vedem cum merge problema...

- Daca R este finit, r elemente sa zicem, doua functii polinomiale pot lua numai cele cateva valori din R. "Graficul" unei astfel de functii incape intr-un "patrat" cu r puncte/marcaje pe "axa Ox" si tot atatea pe "axa Oy".
Este clar ca putem desena putine astfel de functii,

pentru primul punct avem r alegeri,
pentru al doilea r,
...
pentru ultimul r,

in total r^r grafice.
Avem un numar infinit de polinoame insa...
Exemplu explicit:
Fie GF(2) corpul general cu 2 elemente, la scoala cunoscut ca ZZ modulo 2. Polinomul XX - X = (X-0)(X-1) ia numai valoarea 0 (in cele doua puncte...) Orice doua polinoame ce difera printr-un multiplu al lui XX-X = (X-0)(X-1) genereaza aceeasi functie polinomiala.

- Daca R este infinit si nu are divizori ai lui zero...
Sa zicem ca avem doua polinoame f,g care dau aceleasi functii polinomiale f(.) si g(.) - atunci luam diferenta h = f-g cu h(.) = f(.) - g(.) -
deci h(.) este functia identic egala cu zeroul lui R.
h are un coeficient principal.
Sa zicem (in acest exemplu) ca acest coeficient este inversabil in R (sau in corpul de fractii F al lui R - intotdeauna). Impartim cu el si dam de "alt h" monic care are o infinitate de radacini - toate elementele din R.
Folosind teorema lui Bezout, stim ca se divide cu (X-r1) unde r1 este "primul element" din R intr-o ordine pe care o alegem o data pentru totdeauna. (Axioma alegerii...) Calculam catul, h = (X-r1)h1 deci h1 are radacini... mai scoatem un factor (X-r2) din h1, dam de catul h2 etc.
Daca h nu este identic nul, atunci h are un grad si dam de o contadictie cand am scos mai multi factori (X-?) decat gradul.

Cazurile care mai raman dupa ce am inteles aceste cazuri particulare sunt fie foarte patologice, fie se reduc la ele. Cred ca ajunge pentru moment.
Daca mai sunt intrebari, cu multa incredere si fara retinere, de aceea e un forum.

Va multumesc mult pentru timpul acordat explicatiilor! Am inteles.