Fie a,b numere reale pozitive. Sa se arate ca daca a+b=1, atunci a^2*b>=4/27.
Nu am nicio idee cum sa demonstrez. Egalitatea se vede clar ca are loc pentru a=2/3. Dar daca a>2/3 atunci b<1/3, cum pot demonstra ca produsul lor este mai mic mereu decat 4/27? Multumesc anticipat.

Din inegalitatea mediilor
xyz <= ( (x+y+z)/3 )^3
aplicata pe ...


Sensul inegalitatii...

sensul inegalitatii e invers...(verificati a=1/3 si b=2/3) ...in rest e clar ce a zis gauss

Am si eu o rugaminte...
Ca sa vedem cu totii ca lucrurile sunt intelese si ca eforturile s-au meritat, iata "o" problema asemanatoare cu o solutie asemanatoare...

Fie (p,q,r) la alegerea rezolvitorului un triplet dintre
(2,3,5), (1,4,5), (1,3,8), (1,8,9), (1,4,11), (1,5,9), (1,7,8) , (5,11,16) .

Fie a,b,c trei numere reale in intervalul [0,1] care au suma 1:
a + b + c = 1 .

Care este maximul expresiei

Nota:
Problema este didactic o problema foarte utila, cei de clasa a XI-a (si a XII-a) sunt rugati sa vada daca gasesc si pot argumenta care este maximul si pentru p,q,r > 0 reale...

Exista doua argumente... unul "per pedes", bazat pe cele de mai sus si aproximare, celalalt bazat pe convexitate/concavitate...

De acea, cand avem de-a face cu o problema care "mai lasa loc de discutii" (eventual pe cu totul alte teme) e bine sa mai discutam, aici e un loc in care "spiritul pietei" e bine venit...

Daca ne folosim de concavitatea functiei logaritmului cu baza supraunitara,

Majorarea de mai sus depinde inca de a,b,c...
Pentru a scapa de litere (folosind conditia a+b+c=1)...

Folosim aceeasi proprietate. Maximul expresiei este: