Fie

. Sa se gaseasca toate submultimile

cu sapte elemente astfel incat

.

[Citat] Fie Sa se gaseasca toate submultimile cu sapte elemente astfel incat .

G-ul dat cu operatia de inmultire a matricilor este un monoid izomorf cu produsul cartezian de doua copii de C-uri luate cu operatia de inmultire,
( G , . ) ~ ( CxC , .x. )

De aceea voi vorbi mai bine de (a,b) in CxC (dotat cu operatia notata tot cu . de inmultire "pe componente").

Nu am timp sa caut toate cazurile particulare, dar cateva jaloane ar fi:

Daca (a,b) se afla in CxC si este de ordin finit (cel mult sapte inclusiv) fata de operatia de inmultire pe componente, atunci
-- a este fie zero, fie o radacina a unitatii de ordin ord(a) cel mult sapte
-- b este fie zero, fie o radacina a unitatii de ordin ord(b) cel mult sapte
-- ordinul lui (a,b) in cazul in care componentele sunt ambele nenule

Trebuie separate cumva cazurile in care
-- (0,0) nu este in H, nici ceva cu (0,*) sau (*,0)
-- (0,0) nu este in H, dar e ceva cu (0,*)
-- (0,0) nu este in H, dar e ceva cu (*,0)
-- (0,0) este in H, dar nimic altceva de forma (0,*) sau (*,0)
-- (0,0) este in H si mai e si altceva de forma (0,*), dar nu si de forma (*,0)
-- (0,0) este in H si mai e si altceva de forma (*,0), dar nu si de forma (*,0)
-- exista elemente si de forma (0,*) si si de forma (*,0).

Dau doar cateva exemple.
-- Daca (0,*) si (*,0) nu intersecteaza H, atunci H este un grup, cum ar putea sugera litera. El contine (1,1) iar proiectiile (a,b)->a si (a,b)->b sunt morfisme de grupuri, imaginea avand fie un element, fie sapte.

Fie u = cos(2pi/7) + isin(2pi/7) .

H este generat atunci de ceva de forma:
( u, 1 ) sau
( 1, u ) sau
( u, u la o putere ) .

-- Daca (0,0) este in H, problema e care sunt celelalte sase elemente. Oricum le luam incat sa fie stabile la inmultirea pe componente totul e bine.
Avem mai multe cazuri. Cele ce forma celor de mai sus cu un u de data asta de ordin 6, dar si cazurile in care (a,b)->a si (a,b)->b au imagini cu 2 respectiv 3 elemente -- sau invers.

Sper ca e clar ca problema nu este de o structura "homogena",
mai ales ca avem si solutii de forma

H are elementele
(0,0) ;
(0,1), (0,u), (0,uu) ;
(1,1), (1,u), (1,uu) cu uuu=1, u diferit de 1

sau

H are elementele
(0,0) ;
(-1,1), (-1,u), (-1,uu) ;
( 1,1), ( 1,u), ( 1,uu) cu uuu=1, u diferit de 1

sau

H are elementele
(0,0) ;
(-1,1), (-1,u) ;
( 0,1), ( 0,u) ;
( 1,1), ( 1,u) cu uu=1, u diferit de 1 (deci u=-1...)

sau cele de mai sus cu componentele schimbate intre ele ...
Ma opresc aici deoarece nu vad utilitatea problemei pentru vreun cititor dincolo de cele observate.


Nota:
Cel ce a propus initial problema nu are o idee rea, dar poate ar fi bine sa propuna mai intai ceva de forma:

"Cate subgrupuri H in grupul G al matricilor diagonale inversabile 3x3 peste C au exact 27 de elemente? Cate "tipuri diferite modulo izomorfie" sunt in lista acestor H-uri (de exemplu comparandu-le cu forma data de teorema factorilor invarianti, cea a caracterizarii si pentru module de torsiune finit( generat)e)?"

Argumente pentru asa ceva:
--Alegerea literelor G si H este fidela si nu induce in eroare.
--In enunt am mentionat structuri, iar solutia foloseste aceste structuri.
--Se obtine un exercitiu pentru o teorema importanta, cea de caracterizare a grupurilor abeliene finit generate (aici si de torsiune -fara parte libera).
--Si problema de mai sus are "impartiri pe cazuri", dar acestea sunt mai organice, iar exercitiul se poate structura mai bine sau mai rau, putand fi implementat si pe computer pentru verificare.