Aceasta este o problema tipica de folosit polinomul Taylor superior si varianta pentru el a lemei lui Lagrange pentru existenta unui punct intermediar cu...
(In cartile de facultate este formula pentru rest...)
Este vorba de generalizarea pentru:
"Daca f... este "buna" pe [a,b],
atunci exista xi cu (f(b)-f(a) / (b-a) = f'(xi) ."
Daca rescriem
f(b) = f(a) + f'(xi)(b-a) sau si mai bine
f(x) = f(a) + f'(xi)(x-a) ca sa vedem pe partea dreapta un polinom in x,
atunci suntem in pozitia de a aproxima f(x) in jurul lui a cu polinomul de grad 0 f(a), iar restul este dat de derivata "imediat urmatoare" (de grad/ordin unu).
In analiza se foloseste des asa ceva
- pentru inegalitati daca cunoastem semnul derivatei "imediat urmatoare"
- pentru evaluari (aproximari) pana la un ordin de marime necesar...
A se vedea de exemplu
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series
pentru cadrul general.
In cazul de fata, putem lucra per pedes dupa cum urmeaza.
Fie functia f:IR -> IR data de
Calculam derivatele lui f una dupa alta si valoarea lor in 0. Avem
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=0
f'''(0)=0
iar derivata de ordin patru este strict mai mare ca 0.
Deci semnul lui f''' este pe ( -oo, 0 ) si respectiv pe ( 0, +oo )...
Deci semnul lui f'' este pe ( -oo, 0 ) si respectiv pe ( 0, +oo )...
Deci semnul lui f' este pe ( -oo, 0 ) si respectiv pe ( 0, +oo )...
Deci semnul lui f este pe ( -oo, 0 ) si respectiv pe ( 0, +oo )...
De aici rezulta cele cerute.
(Cele de mai sus sugereaza si cum se demonstreaza inductiv ceva cu polinomul Taylor pentru f, daca stim ceva despre polinomul Taylor al lui f'.)
Access general
Conţine mesaje necitite
