1) Doi elevi au avut de efectuat suma a doua numere naturale.Primul gaseste rezultatul corect,579,iar al doilea elev,din eroare,omite ultima cifra a unuia din numere si gaseste rezultatul 168.Aflati cele doua numere.
2)Determinati numerele intregi x,y,z pentru care 2^x+2^y+2^z=5.
3)Determinati toate numerele naturale care verifica ecuatia: xyz=4(x+y+z).
4)Determinati numerele intregi x,y astfel incat x^2+xy+y^2=7.
5)Fie A={3a+11 | a,b e N}.Aflati cel de-al 100-lea numar,in ordine crescatoare,din A.

Multumesc!

Din pacate trebuie sa rezolvam impreuna in majoritatea cazurilor!

[Citat] (1) Doi elevi au avut de efectuat suma a doua numere naturale A si X. Primul gaseste rezultatul corect, A+X = 579, iar al doilea elev, din eroare de transcriere, omite ultima cifra a lui X, acest numar devine Y si gaseste rezultatul corect pentru A + Y = 168. Aflati cele doua numere.

Din cate cifre poate sa fie scris A respectiv in X?
(Rog a se vedea daca A sau X poate avea mai putin sau mai mult decat 3 cifre.)

Daca cifrele sunt a,b,c pentru A si x,y,z pentru X,
atunci diferenta dintre

___
xyz = X si
__
yz = Y este ...

Sper ca se poate rezolva de aici problema...

[Citat] (2) Determinati numerele intregi x,y,z pentru care 2^x+2^y+2^z=5.

Solutia este insirarea de observatii despre x,y,z in ordinea buna, asa ca nu se invata nimic daca vine direct solutia. Sa clarificam cateva intrebari intai.

Sa zicem ca numerele x,y,z sunt in aceasta ordine ordonate pe axa reala.
(Daca nu schimbam ordinea, avand in vedere simetria ecuatiei. Desigur, la sfarsit trebuie sa ne amintim sa mentionam solutiile cu toate permutarile lor.)
(z-ul este cel mai mare.)
- se poate sa avem z-ul > 2 ?
- se poate sa avem z-ul < 1 ?
Care sunt deci valorile pe care le poate lua z?
Le luam in parte, scapam de o necunoscuta si facem o problema asemanatoare cu mai putine sicane.

Mai sunt si alte solutii in afara de
( 0, 1, 1) si
( -1, -1, 2 ) si permutarile lor ?
(Adica pentru realizarile 2+2+1 = 5 si 1/2 + 1/2 + 4 = 5.)

[Citat] (3) Determinati toate numerele naturale care verifica ecuatia: xyz = 4(x+y+z) .

Sa incercam sa rescriem ecuatia, inmultim cu x, incercam sa grupam ceva...
xyz = 4(x+y+z) ,
xy xz - 4 xy - 4xz = 4xx ,

Ce numar putem aduna in ambele parti ale ecuatiei pentru a putea descompune
partea stanga in doi factori ?
Vedem ce obtinem. Ce ordonare a necunoscutelor x,y,z ar fi fost favorabila in prealabil, incat sa putem mai departe sa conchidem... ?

[Citat] (4) Determinati numerele intregi x,y astfel incat x^2 + xy + y^2 = 7 .

Daca scriem partea stanga ca (x+?)^2 + (ceva numai in y) ce valori maxime au x+ ceva si acel (ceva numai in y) ?
Cazurile putine de destelenit trebuie sa fie acum prada usoara.

[Citat] (5) Fie A = { 3a+11b | a,b in N } . Aflati cel de-al 100-lea numar, in ordine crescatoare, din A.

Sa zicem ca ordonam elementele din A si ca le numerotam, dand astfel de
0=a(0) < 3=a(1) < 6=a(2) < 9=a(3) < 11=a(4) < 12=a(5) < 15=a(6) < ... < 22=a < ...

Rog a se completa sirul de mai sus cu mana (pana dam de numarul al 100-lea sau pana se intelege care e afacerea...) Efortul trebuie facut, imi pare rau.

Este de observat ca "de la o vreme" M fiecare numar natrural mai mare sau egal cu M este in A.