[Citat]
M-am gandit sa fac spre exemplu CATEGORIA CEI MAI BUNI PRIETENI, sa desenez 3 diagrame in prima 3 nume de fete in a doua sa pun 3 nume de baieti si in a treia mai multe produse dupa care sa duc sageti sa cuplez prietenii si sa zic ca doi consuma fructe etc... ce prefera fiecare...
Obiectele ar fi multimile iar morfismele relatiile dintre multimi (sagetile). |
Din pacate nu inteleg exemplul.
Trebuie sa avem definita compunerea a oricare doua sageti, iar compunerea trebuie sa fie inca o sageata.
Exista un exemplu tipic de categorie bazata pe un graf orientat.
(Diagrame categoriale.)
(Probabil ca asa ceva vine cel mai aproape de cele descrise.)
Ne dam cateva puncte pe o foaie de hartie, A,B,C, ...
Intre ele dcesenam cateva sageti, nu prea multe...
Pentru fiecare sageata desenata ne gandim ca avem o "relatie", o notam cumva, probabil cel mai bine A => B daca avem o sageata de la A la B.
O gandim ca "din A se poate ajunge in B".
Extindem relatia aceasta la o relatie reflexiva si tranzitiva, notata la fel.
(Deci A => A este "sageata", iar daca pe diagrama aveam sageti de drumuri, A => B si B => C, avem si A => C in noua multime de "sageti extinse".)
Dam de o categorie asociata diagramei date, obiectele sunt varfurile grafului, morfismele sunt "sagetile extinse". (Statul pe loc in A, A => A, este identitatea din A.)
Sincer, nu sunt de acord cu "tema" de a cauta exemple de categorii in viata de zi cu zi.
Poate ca e bine sa mentionez de aceea cateva lucruri despre categorii.
Ele au aparut in matematica pentru a aduce un fel de ordine birocratica atunci cand prea multe structuri matematice diferite in natura conduceau la solutia unei probleme sau ajutau analiza ei.
Categoriile in sine nu au nici un fel de importanta. Trebuie sa gandim pragmatic. Astfel, fie ni se dau de facut referate pe teme de teoria categoriilor intr-un grup de interesatui pentru o anumita structura -iar atunci trebuie sa vina o droaie de exemple din structura cu pricina- fie avem deja categoria in mana si incercam sa intelegem o structura folosind acest cadru birocratic. Dar cautarea fortata (prin tragere la tema) de "structuri categoriale in viata de zi cu zi" nu ne poate ajuta nici matematic nici didactic, pe buen. (Nici in rebus definitiile fortate nu au nici un sens si nici un gust.)
Intotdeauna cand ne "trebuie ceva", trebuie sa intelegem mai intai de ce ne trebuie si sa vedem daca chiar ne trebuie. In cazul de fata nu cred ca ne trebuie.
Pentru a se vedea la ce sunt bune categoriile, o sa dau poate vreun exemplu util de uz inteligent in cele ce urmeaza.
Consideram un corp de numere K (notatie normala pentru germani, anglosaxonii prefera F, prefer insa K fiind mai aproape de C-ul romanesc sau francez, pe care nu pot sa-l folosesc din cauza unei coliziuni evidente). Ca sa fixam ideile ma leg de corpul
Ne uitam la categoria subcorpurilor lui K.
Cateva subcorpuri le vedem imediat... K si Q in primul rand, iar apoi corpurile patratice generate de radical din 2, apoi... 3, apoi... 6.
Ele formeaza o categorie "banala" (C), obiectele sunt corpuri, iar morfismele sunt incluziunile dintre ele. Rog insa a se desena aceasta categorie! Este tot o categorie bazata pe o diagrama, anume pe cea ce poate fi usor desenata.
Ne uitam la categoria grupurilor (G), pe care nu o desenam, dar ne-o imaginam pe alta foaie de hartie.
Asociem unui corp L, obiect din prima categorie (C), grupul Galois
Gal( K : L ) asociat lui L. Mutam (printr-un functor) astfel "structura" de pe foaia cu (C) pe alta foaie (G), poza fiind ceva de forma:
-iar sagetile de incluziune dintre obiecte (corpuri) merg "in sus" -
se duce pe cealalta pagina in
-iar sagetile dintre obiecte (morfisme injective de grupuri, de exemplu un automorfism al lui K ce lasa pe loc Q(radical(2)) poate fi vazut ca unul ce lasa in particular si pe Q pe loc) merg "in jos".
Acesta este un exemplu simplu si pregnant.
In general putem sa "descoperim" sau sa "ordonam in gand" subcorpurile unui corp algebric dat K, daca stim care sunt subgrupurile grupului Galois Gal(K:Q).
Teoria Galois foloseste cel mai bine pentru studenti limbajul categorial.
Indexul extenderii, care poate fi asociat pe incluziunile dintre cate doua corpuri corespunde cu indexul extenderii de grupuri...
Un subcorp normal corespunde cu...
Acesta a fost primul functor "util" din matematica.
Intai trebuie inteleasa o astfel de structura categoriala si rolul ei in ordonarea gandurilor umane, apoi ne putem pune alte probleme didactice.
Categoriile bazate pe diagrame sunt utile pentru a defini limite directe / proiective in anumite categorii.
In categoria modulelor peste un inel dat ne putem uita la "siruri exacte" iar studiul exactitatii intr-o astfel de categorie conduce la invarianti importanti, ce pot fi subsumati sub titlul de K-teorie.
Studiul spatiilor topologice -sa zicem de tipul poliedrelor doar- este complicat destul. Dar exista functori de homologie si homotopie de la categoria spatiilor topologice spre cea a grupurilor,
unui spatiu topologic X putem sa-i asociem grupul abelian graduat H.(X,Z),
unui morfism de spatii topologice (aplicatie continua) x->Y ii corespunde o aplicatie intre grupuri H.(X,Z) -> H.(Y,Z)
iar acest lucru usureaza intelegerea umana a unor obiecte altfel inaccesibile unei organizari a gandurilor ce poate fi transmisa de la o generatie la alta.
Cautarea de categorii in viata de zi cu zi este posibila, putem gasi desigur exemple, dar nu cred ca asa intelegem ceva in plus sau ca se poate castiga un musteriu in plus de partea matematicii. Dar putem scrie desigur referate... De aceea rugamintea mea cea mare, rog a fi inteles propriu, in tot ceea ce facem trebuie sa incercam sa ne miscam in directia unui progres real in gandire.
Access general
Conţine mesaje necitite
