Buna. Vreau si eu sa stiu cum sa rezolv ecuatii, calcule cu radical si inecuatii .


a) 6(x + 3) + 3x + 2(2x + 5) =3(x + 1) - 5
b) 3(2x ? 1) + 4(x + 2) ? 15 = 5(x + 1) + 35
c) 5(3x + 4) + 3(5x + 6) ? 28 = 7(4x + 9) ? 47


Vreau sa invat sa rezolv exercitii de tipul acesta. Multumesc anticipat celor care ma vor ajuta . :*

[Citat] Buna. Vreau si eu sa stiu cum sa rezolv ecuatii, calcule cu radical si inecuatii . a) 6(x + 3) + 3x + 2(2x + 5) =3(x + 1) - 5 b) 3(2x ? 1) + 4(x + 2) ? 15 = 5(x + 1) + 35 c) 5(3x + 4) + 3(5x + 6) ? 28 = 7(4x + 9) ? 47 Vreau sa invat sa rezolv exercitii de tipul acesta. Multumesc anticipat celor care ma vor ajuta . :*

Pentru a invata, trebuie impregnati urmatorii pasi:

(0) Avem mai multe expresii de forma
A(B+C) .

De exemplu 6(x+3), iar unde 6 sta pe post de A, etc.
Se "desfac parantezele", folosind "distributivitatea",

A(B+C) = AB+AC .

Daca avem expresii de forma (B+C)A ... e acelasi lucru.

(1) Chiar si inainte de desfacere se vede ca x va apare la puterea a I-a dupa toate desfacerile. De aceea stim ca avem o ecuatie de "gradul I" in x.

(2) Se efectueaza toate desfacerile in bucatarie, cat de repede si sigur.
De aceea e nevoie de rutina. De aceea se dau temele. De aceea trebuie luate in serios. Aceasta operatie va urmari elevii pana in facultate, sunt foarte putine discipline care evita asa ceva. (E pacat sa evitam o facultate din aceasta cauza.)

(3) Se "duc toti termenii in x pe o parte, toti cei fara x pe cealalta parte"
Cum? Cu semn schimbat.
Intelegerea lucrurilor:

Ceva de forma
+A +B + ... = +Z (+...)
se rescrie ECHIVALENT, este ceea ce vrea sa ne spuna semnul <=> mai sus
+B + ... = -A +Z (+...)

iar operatia se numeste: "Am scazut A pe ambele parti".
Operatia se face si invers, numindu-se...

Dupa cum se vede, e un fel de joc pe calculator, in care A-urile "cu plus" sunt negre, A-urile "cu minus" sunt rosii, iar trecerea de pe o parte pe alta "schimba culoarea". In momentul trecerii, in dreapta ecranului apare ( 100 puncte ). Jocul in care apare pentru acelasi lucru ( 1000 de puncte ) s-a vandut mai bine.

(4) Obtinem ceva de forma
3x + 6x - 13x + 22x -56x + 12x -18x ... = 4-7+8-19-77+56 .
Progresul e clar, pe partea stanga putem gandi
"3 dolari, plus 6 dolari, ..." .
Partea din stanga "se poate" rescrie
(3 + 6 - 13 + 22 -56 + 12 -18 ...) "PE LANGA" x

Acum se ramifica uneori recomandarile.
Unii profesori recomanda adunarea tuturor coeficientilor pozitivi, (3+6+22+12...)
si respectiv a celor ce au minus in fata,
-(13+56+18...)
si efectuarea UNEI SCADERI.

Altii recomanda "taierea pe hartie, daca se poate" mai intai.
Astfel, cei doi "termeni" -13 si +12 sunt "taiati" cu o linie, cu doua, incercuiti, subliniati si taiati, etc. iar peste -13 se scrie -1.

(Am vazut echilibristi care taie +12 si 3-ul din -13. Nu recomand...)

Atunci am mai "taia" cu o altfel de marcare si +22 si -18, iar peste +22 am scrie in loc +4.

(5) Obtinem ceva de forma
aX = b.
Impartim cu a si dam de
X = b/a.

NOTA:
Daca acesti pasi sunt clari, jocul "intr-un pas" cu rezolvarea ecuatiei "in cap"

3(2x ? 1) + 4(x + 2) ? 15 = 5(x + 1) + 35

este urmatorul:
- vedem multe lucruri in x pe stanga.
- decidem sa aducem tot ce e in x pe stanga, tot ce nu e in x pe dreapta
- coeficientul lui x pe stanga este (dupa desfaceri si mutari de pe o parte pe alta)

6+4-5 , zece minus cinci e cinci...

- coeficientul "liber", cel "fara x" pe dreapta este (dupa desfaceri si mutari de pe o parte pe alta)

3 -8 +15 +5 +35 .. 3-8+5 se taie, mai raman 15+35, in total 50,

- deci solutia este 50/5 = 10.

Daca suntem acasa ne putem verifica cu calculatorul, eu recomand pentru astfel de lucruri sage, iata verificarea:

var( 'x' ) # declaram o variabila...
eq = ( 3*(2*x - 1) + 4*(x + 2) - 15 == 5*(x + 1) + 35 )
solve( eq, x )


[x == 10]

Ne putem verifica si pe parcurs, de exemplu
sage: eq.expand()
10*x - 10 == 5*x + 40
sage: (eq +10) . expand()
10*x == 5*x + 50
sage: (eq +10 -5*x) . expand()
5*x == 50
sage: ((eq +10 -5*x)/5) . expand()
x == 10

A nu se subestima puterea computerului si ajutorul lui pentru pregatire, invatare si suport intuitiv. Candva scolile din intreaga lume isi vor rescrie manualele. In Romania va mai dura pana ce in fiecare scoala vor exista democratic computere pentru fiecare elev, apoi mai fiind necesar un secol pana cand profesorii vor reusi sa convina asupra unui sistem (de operare si apoi de calcul algebric...) Dar fiecare elev trebuie sa faca alegerea pentru sine.

Pentru ultima ecuatie si rezolvarea in sage, am copiat-o, am inserat *-uri, (am stiut deja ca "minusurile" sunt altfel de caractere decat minusurile :: ROG A SE TIPARI FORMULELE CU CARACTERE NORMALE) si am obtinut in sage:

sage: eq = ( 5*(3*x + 4) + 3*(5*x + 6) - 28 == 7*(4*x + 9) - 47 )
sage: solve( eq, x )
[x == 3]
sage: eq.expand()
30*x + 10 == 28*x + 16
sage: (eq -10).expand()
30*x == 28*x + 6
sage: (eq -10 -28*x).expand()
2*x == 6
sage: ((eq -10 -28*x)/2) .expand()
x == 3

[Citat] [Citat] Buna. Vreau si eu sa stiu cum sa rezolv ecuatii, calcule cu radical si inecuatii . a) 6(x + 3) + 3x + 2(2x + 5) =3(x + 1) - 5 b) 3(2x ? 1) + 4(x + 2) ? 15 = 5(x + 1) + 35 c) 5(3x + 4) + 3(5x + 6) ? 28 = 7(4x + 9) ? 47 Vreau sa invat sa rezolv exercitii de tipul acesta. Multumesc anticipat celor care ma vor ajuta . :* Pentru a invata, trebuie impregnati urmatorii pasi: (0) Avem mai multe expresii de forma A(B+C) . De exemplu 6(x+3), iar unde 6 sta pe post de A, etc. Se "desfac parantezele", folosind "distributivitatea", A(B+C) = AB+AC . Daca avem expresii de forma (B+C)A ... e acelasi lucru. (1) Chiar si inainte de desfacere se vede ca x va apare la puterea a I-a dupa toate desfacerile. De aceea stim ca avem o ecuatie de "gradul I" in x. (2) Se efectueaza toate desfacerile in bucatarie, cat de repede si sigur. De aceea e nevoie de rutina. De aceea se dau temele. De aceea trebuie luate in serios. Aceasta operatie va urmari elevii pana in facultate, sunt foarte putine discipline care evita asa ceva. (E pacat sa evitam o facultate din aceasta cauza.) (3) Se "duc toti termenii in x pe o parte, toti cei fara x pe cealalta parte" Cum? Cu semn schimbat. Intelegerea lucrurilor: Ceva de forma +A +B + ... = +Z (+...) se rescrie ECHIVALENT, este ceea ce vrea sa ne spuna semnul <=> mai sus +B + ... = -A +Z (+...) iar operatia se numeste: "Am scazut A pe ambele parti". Operatia se face si invers, numindu-se... Dupa cum se vede, e un fel de joc pe calculator, in care A-urile "cu plus" sunt negre, A-urile "cu minus" sunt rosii, iar trecerea de pe o parte pe alta "schimba culoarea". In momentul trecerii, in dreapta ecranului apare ( 100 puncte ). Jocul in care apare pentru acelasi lucru ( 1000 de puncte ) s-a vandut mai bine. (4) Obtinem ceva de forma 3x + 6x - 13x + 22x -56x + 12x -18x ... = 4-7+8-19-77+56 . Progresul e clar, pe partea stanga putem gandi "3 dolari, plus 6 dolari, ..." . Partea din stanga "se poate" rescrie (3 + 6 - 13 + 22 -56 + 12 -18 ...) "PE LANGA" x Acum se ramifica uneori recomandarile. Unii profesori recomanda adunarea tuturor coeficientilor pozitivi, (3+6+22+12...) si respectiv a celor ce au minus in fata, -(13+56+18...) si efectuarea UNEI SCADERI. Altii recomanda "taierea pe hartie, daca se poate" mai intai. Astfel, cei doi "termeni" -13 si +12 sunt "taiati" cu o linie, cu doua, incercuiti, subliniati si taiati, etc. iar peste -13 se scrie -1. (Am vazut echilibristi care taie +12 si 3-ul din -13. Nu recomand...) Atunci am mai "taia" cu o altfel de marcare si +22 si -18, iar peste +22 am scrie in loc +4. (5) Obtinem ceva de forma aX = b. Impartim cu a si dam de X = b/a. NOTA: Daca acesti pasi sunt clari, jocul "intr-un pas" cu rezolvarea ecuatiei "in cap" 3(2x ? 1) + 4(x + 2) ? 15 = 5(x + 1) + 35 este urmatorul: - vedem multe lucruri in x pe stanga. - decidem sa aducem tot ce e in x pe stanga, tot ce nu e in x pe dreapta - coeficientul lui x pe stanga este (dupa desfaceri si mutari de pe o parte pe alta) 6+4-5 , zece minus cinci e cinci... - coeficientul "liber", cel "fara x" pe dreapta este (dupa desfaceri si mutari de pe o parte pe alta) 3 -8 +15 +5 +35 .. 3-8+5 se taie, mai raman 15+35, in total 50, - deci solutia este 50/5 = 10. Daca suntem acasa ne putem verifica cu calculatorul, eu recomand pentru astfel de lucruri sage, iata verificarea: var( 'x' ) # declaram o variabila... eq = ( 3*(2*x - 1) + 4*(x + 2) - 15 == 5*(x + 1) + 35 ) solve( eq, x ) [x == 10] Ne putem verifica si pe parcurs, de exemplu sage: eq.expand() 10*x - 10 == 5*x + 40 sage: (eq +10) . expand() 10*x == 5*x + 50 sage: (eq +10 -5*x) . expand() 5*x == 50 sage: ((eq +10 -5*x)/5) . expand() x == 10 A nu se subestima puterea computerului si ajutorul lui pentru pregatire, invatare si suport intuitiv. Candva scolile din intreaga lume isi vor rescrie manualele. In Romania va mai dura pana ce in fiecare scoala vor exista democratic computere pentru fiecare elev, apoi mai fiind necesar un secol pana cand profesorii vor reusi sa convina asupra unui sistem (de operare si apoi de calcul algebric...) Dar fiecare elev trebuie sa faca alegerea pentru sine. Pentru ultima ecuatie si rezolvarea in sage, am copiat-o, am inserat *-uri, (am stiut deja ca "minusurile" sunt altfel de caractere decat minusurile :: ROG A SE TIPARI FORMULELE CU CARACTERE NORMALE) si am obtinut in sage: sage: eq = ( 5*(3*x + 4) + 3*(5*x + 6) - 28 == 7*(4*x + 9) - 47 ) sage: solve( eq, x ) [x == 3] sage: eq.expand() 30*x + 10 == 28*x + 16 sage: (eq -10).expand() 30*x == 28*x + 6 sage: (eq -10 -28*x).expand() 2*x == 6 sage: ((eq -10 -28*x)/2) .expand() x == 3

Mersiii mult .