Salut, mi-a dat cineva sa rezolv integrala nedefinita din ln(1+tgx) dx. Am atasat doua scanari cu progresul meu si vreau sa intreb daca modul de rezolvare este corect, in special acolo unde obtin integrala din aceeasi functie dar cu schimbari diferite de variabila, se poate face prin revenire?

Cel care mi-a dat integrala a mi-a spus ca se poate face nedefinita in mod sigur, insa cu munca.

http://img684.imageshack.us/img684/7581/scan0002vu.jpg
http://img821.imageshack.us/img821/1736/scan0003vq.jpg

Intr-una dintre imagini am vazut urmatorul "trucaj"...
Avem de calculat integrala din

f(x) + f(x+a)

unde a este o constanta. "Solutia" sparge integrala de suma in suma de integrale, in cea cu x+a face substitutia t=x+a, integrala obtinuta de t revine la o integrala in x prin noua substitutie t=x, deci obtinem integrala din

f(x) + f(x) .

Desigur ca...

Pe de alta parte nu inteleg jocul.
Cineva da cuiva o problema, probabil cu un anumit scop. Problema este insa din punctul meu de vedere mai mult o ghicitoare prin modul in care a fost data. Daca tot exista undeva solutia, de ce nu se da si solutia. Acum suntem pe o pagina de net si problema este data mai departe. Unul din noi va gasi solutia -daca exista vreuna- deci "asa sau asa" intr-o carte. Care este insa sensul? Nu intreb retoric fiind suparat de postare, din contra, dar intotdeauna in viata trebuie sa ne uitam la modul in care merg lucrurile si sa ne gandim daca ele merg bine. (Altfel repede mai dam de o dictatura, in care totul se transforma normal, ajungem intr-o noua situatie "normala" in care toti oamenii sunt bine normati.)



Intamplator undeva pe aceasta pagina, s-a dat cam aceeasi ghicitoare intr-o forma insa care ne prezinta o integrala definita in locul celei indefinite de mai sus..
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=30632
Putem trece de la integrala de la acest subiect la cea din link prin substitutia
tan(x) = t
unde tan este desigur functia tangenta.

Substitutia inteligenta din link nu functioneaza insa decat in cazul unei integrale definite pe un interval [a,b] unde b=(1-a)/(1+a) . (Asta dupa substitutie, pentru integrala noastra de aici.)

Este problema de rezolvat pusa in forma intentionata. (Sau avem de fapt de-a face cu o integrala definita, de exemplu de la 0 la pi/4 ?!)

sa inteleg ca acel "trucaj" nu este corect...imi poti explica si care este problema (si in ochii mei e ceva in neregula, dar nu gasesc ce). Acelsi trucaj il folosesc si pentru alte schimbari de variabila, unde in final dau peste aceeasi functie.

Integrala nu e definita, chiar din aceasta cauza mi-a dat-o un profesor (specializarea sa nu este matematica, insa este fost olimpic si a ajutat multi cu pregatirea pentru bac), care m-a auzit ajutand pe cineva cu niste integrale. Nu sunt olimpic, insa imi plac exercitiile mai dificile, cele pe care le pot aborda.

(1) Nu pot spune unde e problema

Sa luam un caz analog, in care trebuie sa fim mai atenti ce si cum schimbam.

Plecam cu integrala I a lui ln( x/(x+1) ) = ln x - ln(x+1) .
Calculam mai bine cele doua integrale, fara a le calcula.

In prima integrala facem substitutia t = x.
In a doua integrala facem substitutia t = x+1.
Deci avem de calculat "tot integrala" din ln(t) dupa t. Tot nu o calculam, dar "punem totul cap la capat", facem rost de integrala lui
ln(t) - ln(t) = 0...

Cam acelasi lucru se intampla in
http://img684.imageshack.us/img684/7581/scan0002vu.jpg
cu
ln( sin(x+pi/4) / cos(x) ) =
ln( sin(x+pi/4) / sin(pi/2-x) )

si dupa spargere, doua substitutii spre litera salvatoare t dam de
2 ln( sin(t) ) .

(2) Integrala definita din linkul de mai sus e grea destul. Substitutia nu este usor de gasit. Este un caz "bine potrivit" incat sa nu fie usor recunoscut sau banuit.

O asemenare grosiera ar fi calculul integralei de la -1 la 1 al functiei
x sin(x)^2 cosh(x) .

Deoarece avem o functie impara, integrala definita se anuleaza pe intervale simetrice.
Calculul integralei definite insa...

In cazul postarii de fata, trebuie inainte de toate sa avem certitudinea unui enunt corect si complet. Daca chiar se cere primitiva (o functie, nu un numar), solutia mea ar fi "sa ma dau batut" si sa cer solutia. In definitiv, viata e scurta destul, de ce sa furam timp din ea prin incercari necanalizate, daca putem sa invatam din solutii existente si sa adunam idei noi in forma lor deja digerata... Acesta este jocul corect in matematica.

(De exemplu, pe vremea lui Fermat mai existau prinsori intre matematicieni, cel ce castiga asigurandu-si astfel un job la curtea regala. Intre timp, ajunsi in noul mileniu, au reaparut facultatile de "fermatisti", oameni care doresc aceleasi conditii ca cele din secolul lui Fermat, cu conditia ca studentii sa se poarte cu ei ca pe vremuri cu Fermat.)