[Citat]
Sa se determine cea mai mare si cea mai mica valoare pt functia:
f(x)=x^5-x^3+x+2,definita pe [-1,1].
Am calculat derivata si am incercat sa aflu radacinile,pt a calcula astfel punctele de extrem.Dar nu prea reusesc .. |
Solutia data mai sus este singura pe care o pot recomanda calduros.
Postez din alt motiv, incerc sa-i conving pe cei care inca nu au incredere in sine sau in matematica de faptul ca "de obicei mai exista inca un drum".
"Celalalt" drum ne e in examene de ajutor, daca nu gasim autostrada sau daca vrem sa ne verificam.
Iata cum puteam argumenta "altfel".
Vrem minimul si maximul lui f. Acel 2 (coeficientul liber) ne sta in drum.
Ne legam *poate* mai usor de functia
g:[-1,1] -> IR, g(x) = x^5 - x^3 + x .
Aceasta este o functie impara, ea satisface g(-x) = -g(x).
Daca aveti probleme cu aceasta proprietate, e bine sa ne aducem aminte ca cele mai bune exemple de functii impare sunt functiile polinomiale in care apar doar puteri... impare. N-o sa credeti, poate, cele mai bune exemple de functii pare...
Comportamentul unei functii pare / impare (functie care este definita pe un interval simetric) se reduce la studiul pentru valori mai mari sau egale cu zero.
Avem simetrie... (Oare care pentru o functie impara, daca cel mai bun exemplu este x -> x la puterea 1?!)
Deja daca pomenim asa ceva intr-un examen castigam puncte.
Bun. Sa studiem functia g pe [0,1].
Fara sa derivam vedem ca "x il biruie pe x^3", de aceea g(x) se poate majora cu x^5, care se poate majora cu 1. Acest 1 se atinge in x=1. Deci maximul lui g pe [0,1] este cel putin 1.
De ce este el cel mult 1?
Deoarece pe [0,1] x^3 il biruie pe x^5, de aceea g(x) poate atinge cel mult maximul lui x, care este 1, atins tot in 1.
In formule, pentru x in (0,1) (ca sa pot scrie semnul < sau > in loc de <= sau >=...)
g(x) = (x^5 - x^3) + x = x^3(x^2-1) + x < x
g(x) = x^5 + (x - x^3) = x^5 + x(1-x^2) > x^5 .
Deci maximul lui g pe [0,1] este g(1)=1.
Cu aceleasi inegalitati, vedem ca minimul pe [0,1] este g(0)=0.
Din simetrie, minimul lui g pe [-1,0] este g(-1)=-1, iar maximul este g(0)=0.
Daca adunam acum 2, dam de cele cerute pentru f.
Pentru cei ce se pregatesc pentru bacalaureat sau pentru cei din facultate recomand calduros folosirea de ploturi pe computer pentru fiecare functie la care se poate plota ceva. Exista multe softuri de plotat, toate cele comerciale sunt intuitive si usor de folosit cu multa documentatie pe net (Mathematica, Maple). Toate cele libere sunt accesibile si mai usor invatabile decat analiza (gnuplot,
http://www.gnuplot.info/, pari/gp, sage, ...) .
De exemplu,
cod pari/gp pentru un asa zis raw plot ("imprimare" grosiera):
plot( x=-1,1, x^5 - x^3 + x )
Daca tot am ajuns asa departe cu discutia "imprejur", iata o intrebare utila: Care sunt punctele de inflexiune de pe graficul de mai sus?
Access general
Conţine mesaje necitite
