Sa se demonstreze:
1) sin^2(1)+sin^2(2)+... sin^2( 90)=91/2
2) 1/2*cos(80)-2cos(20)=1

[Citat] Sa se demonstreze:

(La (2) a fost o mica ghicitoare... Rog a se avea grija de cele scrise in astfel de cazuri. De ce? Daca se programeaza asa ceva de exemplu, nu se va gasi usor greseala, cand se va gasi cineva va avea multi nervi...)

Sa rezolvam impreuna.

(1) Exista o formula care ne scapa de patrat pentru functiile trigonometrice sin si cos (la patrat). Care este aceasta, cum se rescrie egalitatea data?
Bun. Mai departe completam cu "cealalta parte" reala/imaginara, pentru a ne face rost de expresii de forma

cos + i sin

ori de cate ori avem numai una din cele doua parti.
In cazul nostru, vom da de o suma de forma
A( 1 + q + qq + ... )
(a primilor termeni ai unei progresii geometrice cu ratia multiplicativa q, q numar complex.)

Stim suma de cei cativa "termeni" din progresia geometrica.
Sfarsitul e aproape...

(2) Un mod psihologic de a aborda astfel de probleme, este de a face rost de o singura functie trigonometrica de un singur unghi. Destul de repede se vade ca putem explicita cele date numai in functie de

sin(10) .

De aici, ecuatia data este echivalenta cu o ecuatie de gradul 3 in sin(10).
De ce satisface sin(10) o ecuatie de gradul 3 ?
Deoarece avem o forumula pentru sin( 3x ), iar la noi sin( 3.10 ) este "ceva cunoscut.

Pe acest drum nu dam de solutia cea mai scurta, dar aceasta solutie explica de ce avem astfel de identitati si cum putem produce identitati noi...


Un mod "experimental" (si la noroc) de a obtine egalitatea este de a o inmulti cu sin(20), dam echivalent de

cos 10 - sin 40 = sin 20

de demonstrat, de aceea ne legam imediat de

sin 40 + sin 20 = sin (30+10) + sin(30-10) = ...