Rezolvati ecuatia

Cum pot sa rezolv problema asta? Multumesc anticipat..

Aici x si y iau valori reale?
Iar n este un numar natural?

Sa ne ocupam mai intai impreuna de cazurile n=0, n=1, n=2.

nu zice nimic despre x,y sau n, decat ca x si y >0. Dar cred ca n este natural ca altfel ar fi prea ciudat..
pentru n=0=>xy=0 imposibil pentru ca x,y>0;
n=1=>x+y-2=xy-1;
x+y-xy=1 si aici vad solutia x=y=1 dar nu stiu daca e singura
n=2=>

Pentru n in {0,1,2} avem singurele posibilitati in care se poate "explicita" ceva.
Nu incerc si nu am ce sa rezolv "complet" in celelalte cazuri, dar voi explica de ce.

Mai intai la cele de sus:

(0) Pentru n=0 ecuatia devine 1+1-2 = 0(xy-0) care e satisfacuta mereu.
(1) Pentru n=0 ecuatia devine dupa un mic pas in plus,

xy-x-y+1 = 0, i.e.
(x-1)(y-1) = 0 .

Cel tarziu acum vedem ca (x=1) SAU (y=1) conduce la o solutie.
(Toate solutiile sunt de una sau alta din aceaste forme.)

Chiar daca nu se vedea sau nu exista descompunerea, astfel de ecuatii de gradul unu in x (si/sau y) cu parametru y (respectiv x) trebuie sa fie o prada usoara.

(2) Pentru n=2 nu am ce sa adaug.

Pentru a intelege cazul general, ma voi lega poate de cazul special n=3.
(Solutia in cazul general are o linie, problema e cum ajungem la acea linie. Acest aspect nu trebuie minimalizat. Invatarea procesului de cautare dupa propriile jaloane ne ajuta toata viata - mai ales cand suntem la munca si cautam solutii contra timp. Solutia unei cine stie ce ecuatie, fosta data ca tema, nu ne ajuta niciodata. Daca la clasa se incepe cu solutia nu e nici bine, nici rau in general. E un lucru care depinde de auditoriu si de timpul ramas pentru alergarea prin materia ramasa.)

Cautarea trebuie sa fie "orientata pe rezultat", dar noi nu stim rezultatul inca.
Ce fel de "scule" putem folosi pentru cautarea rezultatului?
Eu recomand computerul uneori, dar si aici se presupun o sumedenie de lectii invatate, pentru a incepe cautarea. Fiecare dintre noi ar trebui insa sa faca cativa pasi folosind cod pe computer. Aici nu ma refer la programarea de la zero in C++, java sau asa ceva. Nu. Exista soft-uri speciale pentru matematica. Cand elevii ii vor convinge pe profesorii lor ca exista asa ceva si poate fi utila combinarea de materie si intuitie. Destul.)

Cum putem incepe cautarea? Iata cateva incercari.
Luam n=3.
Luam functia f(x,y) data de "cele din ecuatie" si ii cautam zerourile,

Ii dam mai intai o plotare (un grafic 3d, (x,y) se plimba pe "masa", valoarea intr-un (x,y) de pe masa sta peste punctul de pe masa la inaltimea f(x,y) - bine, stiu, sta sub masa daca f(x,y) <0).
Ne uitam unde ia f valoarea 0 pe graficul 3D.

Daca nu avem un astfel de program (e rau, nu stiu ce-o mai fi altfel pe computerul ala...), putem sa incercam cu y=0, y=0.5, y=1, y=1.5 si sa facem grafice pentru f ca functie de variabila x doar. Bun. Pentru n=3, graficul arata asa, cod gnuplot, http://www.gnuplot.info/, soft liber,

set hidden3d
set isosamples 10
set xrange [ 0.0:2 ]
set yrange [ 0.0:2 ]
set zrange [ 0.0:16.0]
set xtics 1.0
set ytics 1.0
set ztics 5.0

set view 40,50,1.0,1.0

f(x,y)=x**3 + y**3 - 3*x*y +7
splot f(x,y)

poza gnuplot,

Sper ca se vede ca graficul 3d al lui f pe (0,2)x(0,2) este o suprafata "convexa" ("tine ploaia" in matematica, pentru unii fizicieni e concava, deoarece "tine ploaia" de asemenea) si ca va tine ploaia pana la infinit. Nu se va mai intoarce la planul mesei... Deja ne vine ideea sau banuiala demonstratiei faptului ca nu mai sunt solutii.

O paranteza mai importanta poate decat solutia.
Daca vroiam sa vizionam zerourile ALTEI FUNCTII, anume fara acel +7 la sfarsit, doar

xxx -3xy +yyy

cam acelasi cod, dar cu +7 ras din linia respectiva ne ploteaza:
--- trebuie sa sparg mesajul ---

--- continuare ---


set hidden3d
set isosamples 15
set xrange [ 0.0:2 ]
set yrange [ 0.0:2 ]
set zrange [ 0.0:16.0]
set xtics 1.0
set ytics 1.0
set ztics 5.0

set view 40,50,1.0,1.0


f(x,y)=x**3 + y**3 - 3*x*y


splot f(x,y)

Prin faptul ca am cerut lui gnuplot afisarea valorilor pe axa Oz numai "peste 0", am reusit sa am o vedere a "curbei de nivel zero" a noului f.

"Sita" de plotare nu are prea multe linii, ca sa incapa pe pagina.
Dar daca instalati gnuplot, puteti manevra din isosamples si din alti parametrii...


Bun. Acum vine rezolvarea pentru clasa a IX-a.


Ecuatia data nu are solutii pentru n>2, n natural.
Motivul este faptul ca din inegalitatea mediilor pentru x^n, y^n, 1, 1, ..., 1.
(Am umplut cu 1-uri, incat sa dau de n bucati.)

Deci

Pentru n>2 ...