Demonstrati ca pentru orice

, avem

.
Multumesc anticipat.

[Citat] Demonstrati ca pentru orice , avem .

Fara a incerca sa intelegem ceva, sa vedem cu computerul cat de stransa este afacerea:

? \p 50
realprecision = 57 significant digits (50 digits displayed)
? n = 15
%1 = 15
? k = 313
%2 = 313
? EPS = sum( j=0, n-1, 1./(k*n+j) )
%3 = 0.0031901345522452500041504100350246742257014822770246
? EPD = n*( ( (k+1)/k )^(1/n) - 1 )
%4 = 0.0031901345519588936766623179034977998814252711914577
? EPS - EPD
%5 = 2.86356327488092131526874344276211085566871921602 E-13
?
? n = 77
%6 = 77
? k = 3
%7 = 3
? EPS = sum( j=0, n-1, 1./(k*n+j) )
%8 = 0.28822388123022545312699073378141063427408485456528
? EPD = n*( ( (k+1)/k )^(1/n) - 1 )
%9 = 0.28822015128139714329862303627127671740202055563873
? EPS - EPD
%10 = 0.0000037299488283098283676975101339168720642989265428158

Bun, inegalitatea data are deci
EPS (expresia din partea stanga) > EPD (... drepta).
Inegalitatea este relativ stransa.

Ne uitam acum la "calitatea expresiilor" ce intervin.
Eu m-am uitat cu ochii mei, nu pot sa nu fac o observatie psihologica (nematematica si nedidactica).
Cei ce au vazut in facultate "multe" si dispun de aparatul detaliat al analizei si stiu cam cum se fac aproximari pentru zeta(z) cu z real pe langa 1 pot aprecia ca fara pilotare sau indicatie o astfel de problema poate provoca frustrare. Elevii nu trebuie triati de catre manuale si carti de explicat matematica prin selectia de forma "cine nu mai vrea sa plece". Din contra, trebuie bine plasate problemele in cadrul corect de idei, iar ideile trebuie declarate, nu ascunse. Avem nevoie de un elev foarte tenace care sa inceapa si termine aceasta problema, fara a renunta. In plus, chiar daca descopera o rezolvare, nu descopera poate cercul "corect, bine plasat" de idei.

Voi incerca sa povestesc cat se poate de mult pe baza acestei probleme, pentru a vedea "cum merg lucrurile" mai intai, apoi cum ne putem imbunatati (cu metodele analizei) pasii deja parcursi, daca nu obtinem rezultatul dorit, dar suntem pe aproape.

Multi elevi, dar si multi propunatori de astfel de probleme nu inteleg de ce imi intra in actiune agresiva sistemul nervos cand dau de astfel de
"ghicitori pentru minori".


(1 :: incercare) Ne uitam la expresia din partea stanga. Aici m-am suparat mai intai pe propunatorul (original) de problema pentru faptul ca mi-a ocupat k-ul fara rost si mi l-a particularizat prea tare. De ce sa folosesc j cand toate cartile sunt scrise cu k? Voi folosi a in loc de k, a parametru sa zicem mai mare sau egal cu 1 pentru incept.

Atunci expresia din partea stanga, EPS, in traducere in engleza LHS, este destul de repede identificabila ca o suma Riemann a unei functii descrescatoare:

Am terminat acum cu prima repriza.
Am vazut pe unde se plimba suma, EPS.

(2 :: incercare )
In cea de-a doua repriza avem fara indoiala forma deghizata pentru expresia din partea dreapta, EPD,

"punct Lagrange" intermediar.

(3 :: analiza )
Ramane sa punem cioburile care nu se imbuca prea bine acum cap la cap.
Vedem ca ambele expresii sunt "ceva mai mari" decat ln( 1 + 1/a ) .

In ambele cazuri am pierdut "un ordin O( ? ) de marime imediat urmatoare".

Cum se poate rafina argumentul de mai sus?
--- voi reveni cu continuarea ---

Folosesc notatiile de mai sus. In principiu numai la <a> in loc de <k> trebuie sa fim atenti in comparatie cu enuntul problemei.


Voi nota de asemenea 1/n cu y la momentul oportun.


Functia f de variabila x, care trimite x in 1/(a+x) este strict descrescatoare.
Ea este chiar convexa, lucru care va imbunatati prima minorare a EPS.
Cum? Pentru o functie convexa integrala ei intre doua puncte, sa zicem c si d, este sub linia dreapta dintre punctele de pe grafic peste c si d. Avem deci o comparatie directa cu ceea ce se numeste aproximare prin metoda trapezului. La noi...

Daca nu avem noroc inca cu aceasta convexitate (deci ca sa fiu mai clar, am luat intr-o aproximare Taylor termenii de grad 0 si unu, iar partea cu punctul intermediar si derivata a doua am majorat-o cu zero. Daca asa ceva nu ajuta...) trebuie sa intram mai departe in aproximarea Taylor...

Sa speram ca nu am aproximat prea grosolan.
Problema data este rezolvata daca aratam ca are loc:

Notez 1/n cu y.

Acel n din dreapta semnului de inegalitate de mai sus apare ca 1/n=y in numitor... Inmultim cu y>0 de aceea si avem de demonstrat echivalent:

De aceea consideram functia diferenta...

Este g''(0) > 0 pentru a mai mare sau egal cu 2?
Daca da, g este o functie convexa pe (0,epsilon), epsilon ceva mai mare ca zero, iar din g(0)=g'(0)=0 rezulta ca graficul lui g pleaca din (0,0) tangent la axa orizontala, convex, deci g este o functie mai mare sau egala cu zero pe acest interval (0,epsilon).

(Daca nu avem probleme... Probabil ca aproximarea folosind metoda trapezului nu ajunge.)
Este g''(y) > 0 chiar pe (0,1/2) ? Pentru orice a?

(Nota: Din pacate nu ne ajunge aproximarea / majorarea Taylor ln(1+u) < u pentru u>0, echivalenta cu 1+u < exp(u), de aceea trebuie sa intram mai adanc in dezvoltarea in serie
ln(1+u) = u -uu/2 +uuu/3 -...)

--- voi reveni, acum sunt obosit, sunt fericit daca mi se compileaza ---