Pe multimeaG=[0,1) se considera legea de compozitie xoy={x+y}(partea fractionara a lui x+y,oricare ar fi x,y apartine lui G.
a) Sa se demonstreze ca (G,0)este grup abelian.
Aici am o nelamurire privind elementul simetric
b)Daca n apartine multimii numerelor naturale, n mai mare sau egal cu 2, sa se demonstreze ca (H indice n,0)este subgrup al lui (G,0), unde H indice n={0, 1/n, 2/n, ... ,(n-1)/n}.
Cum se demonstreaza sugrupul aici?
c)Sa se demonstreze ca grupurile (G,0)si (U,.)sunt izomorfe, unde U={z apartine multimii numerelor complexe cu proprietatea ca modul de z egal cu 1}.
???
Cartez

[Citat] Pe multimea G = [0,1) se considera legea de compozitie xoy = {x+y} (partea fractionara a lui x+y) oricare ar fi x,y apartine lui G. (a) Sa se demonstreze ca ( G , o ) este grup abelian. Aici am o nelamurire privind elementul simetric. (b) Daca n apartine multimii numerelor naturale, n mai mare sau egal cu 2, fie H ={ 0, 1/n, 2/n, ... ,(n-1)/n }. Sa se demonstreze ca ( H , o ) este subgrup al lui ( G , o ). Cum se demonstreaza faptul ca H este un sugrup? (c) Fie U = { z numar complex : |z| = 1 } inzestrat cu inmultirea numerelor complexe (de modul unu, operatie bine definita) ca operatie notata cu '.' . Sa se demonstreze ca grupurile ( G , o ) si ( U , . ) sunt izomorfe.

Am reformulat enunturile, asa cum trebuie ele formulate in mod cinstit fara intoarceri de logica, fara a folosi variabile ce nu sunt introduse.

(a) Elementul neutru este 0. Intr-adevar, daca x este un element din G = [0,1) ,
0 o x = {0+x} = {x} = x ,
x o 0 = {x+0} = {x} = x .

Elementul simetric pentru 0 este 0, desigur.
Daca x este un element din (0,1), atunci inversul lui x este (1-x), calcul facut in numere reale, considerat apoi ca element din G.
De exemplu, pentru x in (0,1),
x o (1-x) = { x + (1-x) } = {1} = 0 .

Asociativitatea poate pune cateva probleme, dar modul cel mai simplu de a argumenta este faptul ca daca x,y,z sunt din G, (xoy)oz este { (x+y)+z },
reducand astfel asociativitatea din G la proprietatile operatiei de luarea a partii fractioare impreuna cu asociativitatea din IR.

Desigur ca "o" este operatie comutativa, reducerea acestei proprietati la comutativitatea de pe IR este un lucru care trebuie amintit.
(Aceasta operatie isi mosteneste existenta de pe urma structurii lui IR...)

Este de datoria operatiei "o" sa-si aduca aminte de origini.
Matematica nu este o adunatura de formule, ea este mai degraba o dezvoltare de "structuri", plecand de la cele simple si inzestrandu-le din ce in ce mai mult cu decoratii care prin particularizare permit izolarea de proprietati noi si speciale. Intotdeauna cand studiem o structura noua trebuie sa ne aducem aminte de ce stim despre proprietatile originii ei. Analizam noua structura cautandu-i proprietati noi. Mereu trebuie sa avem exemple de structuri "test" pe drum, pe care sa distingem usor daca au loc sau nu anumite proprietati.
Cand vedem o cladire in oras, este uneori bine sa ne gandim cum a fost construita. (Care este fundamentul, unde au stat primele schele, cum a fost umpluta cu material, cum s-a finisat fasada, cine a dat banii...)
Mostenirea (de structura) este un lucru foarte important in matematica, am incercat sa-l imbrac intr-o forma greu de uitat. Originea lucrurilor este in general in arta si stiinta foarte importanta. (Istoria ceramicii este un exemplu mult mai bun, mai "atomic", de istorie decat cel de la ora de istorie.)

(b) Ajunge sa demonstram ca multimea nevida H este stabila fata de operatia "o" de pe G si fata de luarea inversului. (Toate axiomele rezulta pe H, in particular, deoarece ele au loc deja pe G si sunt formulate pe elemente.)

Se verifica usor ca daca i/n si j/n sunt din H, atunci (i/n)o(j/n) este (restul impartirii lui (i+j) la n) / n, de asemenea un element din H.

Inversul lui 0/n este 0/n, tot din H.
Daca i este din {1,...,n}, inversul lui i/n este (n-i)/n, tot din H.

Nota: H este izomorf cu grupul aditiv al intregilor modulo n, de obicei notat cu ZZ / n . Aplicatia H -> ZZ/n trimite i/n in i.

(c) Trebuie sa gasim o aplicatie de la un grup la altul care este bijectiva (ca aplicatie intre multimile subiacente) si compatibila cu structurile de grup. Aplicatia o dau eu,

(Care este imaginea lui H (indice n) in U prin aceasta aplicatie?)

Multumesc pentru lamuriri, imaginea lui H prin aplicatia care defineste izomorfismul dintre G si U este multimea radacinilor complexe de ordinul n ale unitatii.
Cartez