Din pacate nu putem lasa lucrurile asa, ar fi multe de clarificat.
Pentru a clarifica cat de cat cum stau lucrurile, trebuie sa fac propozitii.
Va rog sa va opriti din citit, daca propozitiile merg intr-o directie prea axiomatica. O sa incerc sa fac o compunere agreabila.
Mai intai, ce este "o geometrie" ?
Raspunsul simplu este "o adunatura de puncte si drepte", despre care nu stim mare lucru, stim numai cand se afla un punct pe o dreapta. Atat deocamdata. Nici hexagoane, nici plane, nici cercuri. Nimic. Pentru ca lucrurile sa fie cat de cat "stranse" si sa semene a "geometria dreptelor si punctelor din plan" se adauga anumite conditii (constrangeri, axiome).
Google m-a trimis la nodul 28 din ceva mai mare,
http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/node28.html
asta doar daca vrem sa vedem ceva citibil. Da, este arid, dar trebuie cumva sa formalizam notiunea de "punct se afla pe dreapta", si sa stim de exemplu ca orice doua puncte determina o dreapta, ...
Desigur, vor spune multi, ce se poate si altceva?
Din pacate se poate. Sa ne gandim de exemplu la ceva foarte exotic, fixam F un "corp finit", dau exemplu imediat. Ca sa fie si mai straniu, il luam pe cel cu 11 elemente, pentru cei de a cincea, este multimea resturilor posibile la implartirea cu 11. Pentru cei de pe a XI-a putem lua multimea resturilor posibile la implartirea cu 5.
Definim un punct a fi ceva de forma (x,y) cu x,y in F. Avem atunci 11 x 11 = 121 puncte pentru clasa a V-a si respectiv 25 de puncte pentru cei oricum stresssati de pe a XI-a.
Definim o dreapta ca multimea punctelor solutie a unei ecuatii liniare de forma
aX + bY + c = 0
cu cel putin o solutie (evitam 1=0), dar evitand cazul cu toate solutiile (cazul 0=0).
Aici a,b,c,0 sunt din F. Presupun ca stim sa adunam si sa scadem resturi modulo 11... De exemplu, ecuatia (X+Y=0) determina o dreapta, pe ea se afla cele 11 puncte (0,0), (1,-1), (2,-2), ... (10,-10).
(Cei ce au ceva impotriva lui -10 la teza pot scrie 1 in loc.)
Un punct se afla pe o dreapta, daca inlocuindu-i coordonatele in ecuatia dreptei obtinem din ecuatie o egalitate. Putem defini "incidenta", "intersectia de drepte" (puncte multe, punct sau eventual vida), ...
Cititorul care vrea sa inteleaga geometria poate incerca sa vada ce e satisfacut si ce nu din axiomele din link-ul de mai sus pe acest caz particular.
Care este numele jocului de mai sus?
Este ceva de tipul "eu iti descriu un soi de animale, tu da-mi numarul de telefon al unuia dintre ele ca sa vad daca e inregistrat la sfat"... In definitiv, asa ceva poate sa nici nu existe. Bun, la numarul de telefon de mai sus a venit un individ foarte previzibil, el poate fi desenat cu toate moleculele pe o pagina de hartie (ceva mai mare, dar cei de a XI-a au stiut ei de ce se leaga de un numar prim mai mic).
Mai exista si un numar de telefon din capitala?
Bine, sa cautam...
Iar trebuie sa descriu un cearceaf...
Sa zicem ca plecam cu cearceaful infinit ce acopera cadranele I si II din planul cartezian peste numere reale. El are numai o margine, nu patru. Ce mai, e intuitiv ca la Marea Neagra partea neaga, daca ne gandim ca strandul e de fapt o linie dreapta si o vedem curbata deoarece am baut din ceva tare care nu s-au scurs in mare. (Acest punct de vedere nu este foarte figurat in cercetarea geometrica, in cele mai multe cazuri el este real si ajuta cercetarea.) Bineinteles ca ne imaginam marea ca ceva plat si fara sfarsit, suntem in mijlocul evului mediu intunecat.
Un punct este un punct de pe suprafata marii (sau a cearceafului).
O "dreapta" este -pana ne trezim la cealalta realitate- un semicerc, asa cum il stim noi pe un cearceaf euclidian, cu conditia sa fie tangent la linia strandului (sau la marginea cearceafului infinit) la ambele capete. Ne putem imagina un inotator care intra in apa curajos, "drept inainte", destul de repede vede un rechin si se intoarce pe un cerc perfect "drept inapoi".
Bun, e clar ca doua astfel de drepte se pot intersecta sau nu. Daca dam un astfel de traseu, de inotat in semicerc de la mal la acelasi mal, e clar ca exista o infinitate de alte trasee care nu il intersecteaza. Cine nu crede sa mearga cu parintii la mare la 16 ani. Deci la o "dreapta" data (locul unde inoata cu placere parintii) putem duce printr-un punct dat (geamandura de care ne tinem de obicei) o infinitate de drepte, ajunge sa stim unde trebuie sa iesim din apa la strand ca sa intram imediat intr-o discutie cu cine trebuie.
Am dat de un exemplu de geometrie neeuclidiana realizata pe baza cunostintelor noastre medievale despre mare sau pe baza cearceafuri infinite.
Discutia poate sa continue.
De exemplu, oamenii normali considera ca drumul cel mai scurt dintre doua puncte este linia oabla. Ei vor prefera spatiul euclidian cu 3 dimensiuni si nimeni nu poate sa-i converteasca uneori la coltul intersectiei.
Exista insa si oameni care merg cum explic eu lucruri pe care de fapt nu le inteleg. Asta e o cu totul alta geometrie. Exista chiar filme BBC care vor sa ne explice ca lumina s-ar incovoia cumva cand vine pe langa soare, astfel ca drumul ei cel mai scurt dintre doua puncte este cam asa ca cel de pe fata de masa de latex decorata in careuri, daca adancim o minge de plumb in ea. Un astfel de "drum cel mai scurt" intre doua puncte il putem numi indulgenti geodezica.
Ei bine, ori de cate ori ne putem imagina un fel de spatiu in care avem "geodezice bune" pe post de drepte, putem sa incepem o "geometrie" mai buna sau mai rea... Geodezicele au ceva cu masurarea lungimilor (fata de o metrica).
De aceea unii matematicieni nici nu mai pot sa accepte geometria (data de axiome de incidenta) fara un suport geometric dintr-o lume ca cea in care traim. Apar deseori certuri daca o geometrie "finita" ca cea de la inceput merita numele de geometrie.
Profesorii nostri de fizica sunt supusi de obicei in facultate la o spalatura pe simturi, li se spune ca se poate masura ceva altcumva si ei isi procura imediat bautura necesara pentru a vedea lucrurile in acest mod. De exemplu, noi stim ca o anumita stea se afla (la o eclipsa sau alta de soare) exact in spatele soarelui. Si cand spunem "in spatele" gandim euclidian. La facultatea de fizica insa, cativa colegi au baut o licoare anume si cred doar ceea ce vad cu lumina cand aceasta ajunge la ei. Ei "vad steaua" care este in spate si vor nega mereu faptul ca "in spatele soarelui" se afla un trunchi de con infinit, dupa ei este un lucru foarte ciudat "in spatele soarelui" care chiar nu ajunge cu lumina la noi. Insa in nici un caz un "con euclidian". Fizicienii chiar pot defini o "metrica" (spunand infinitezimal luminii cum sa mearga ca sa ajunga la noi) ce ii face drumul luminii stelei pana la noi, au campuri magnetice, de gravitatie, ... si acestea "curbeaza" pentru cel nebeat traiectorii. Cand un fizician ii spune altui fizician ca lucreaza pe un spatiu curbat, ei stiu impreuna ca acesta este drumul drept...
Matematicienii au adus la perfectiune cadrul in care sa se inteleaga fizicienii, este un cadru axiomatic in care fizicienii nu sunt in pericol de accident daca merg orb dupa traiectoriile descrise de axiome si calcule. Din nefericire, fizicienii intotdeauna au creat matematicienilor impresia ca ei "chiar vad" in acest spatiu, dar pentru a le explica si lor ce se afla unde orbilor trebuie sa publice calcule... E uneori o problema de religie, ceva comparabil in orice caz. Pentru a avea si noi un exemplu de astfel de "betie normala", incerc sa descriu ceva... Cei ce nu vor intelege pot deveni foarte buni matematicieni. Cei ce vor intelege pot deveni foarte buni fizicieni. Cei ce vor intelege in parte au sansa sa aleaga. Cei ce nu vor intelege in parte au nesansa sa nu aleaga, asa cum mi s-a intamplat si mie.
Sa revenim la povestea cu cearceaful infinit cu o singura margine.
Cand se uita un fizician la acest cearceaf, simte ca il dor ochii magici. Fie bea repede un pahar de apa, fie il mananca. El intoarce cearceaful, il mototoleste fara pliuri, trage de el, vine de la infinit si il infunda in pantaloni pana cand din el ramane emisfera nordica a pamantului marginita de ecuator. Mai exact, ecuatorul fara un punct la alegere, notat X.
Cum au facut din cearceaf calota? Greu de spus, dar proiectia stereografica fata de X pe un plan imaginar la cativa parseci in spatiu face din calota acel cearceaf infinit. Fizicianul este in sfarsit fericit! Acele cercuri tangente la marginea cearceafului, "dreptele geometriei noastre neeuclidiene", devin deodata cercuri pe calota emisferei nordice a pamantului sferic, iar fizicianul e in sfarsit multumit vazandu-le ca bucati din "cercuri mari de pe sfera".
De multe ori, fizicienii "vad" lumea in care au loc anumite "fenomene" in acest mod, izoland mai intai simetria si cautand apoi incarnarea ei matematica. De multe ori, ceea ca "vad" fizicienii nu se poate realiza acolo unde cred ei ca se poate realiza prin calcule, de cele mai multe ori din cauza faptului ca exista "obstructii matematice" (discrete sau continue) bine cunoscute. Din aceasta cauza, fizica si matematica din secolul acesta merg mana in mana. Nu este posibil deseori sa facem progrese intr-unul din domenii, daca nu "vedem" lumea "reala" din celalalt domeniu.
Inchei cu o "caricatura" pe tema asta, sunt copertile unei carti in volum dublu. Partea serioasa a cartii este bine ascunsa de recenzia urmatoare...
http://www.ams.org/journals/bull/2001-38-04/S0273-0979-01-00916-8/S0273-0979-01-00916-8.pdf
Este mereu o placere cand citesc asa ceva.
Nu am gasit poze bune ale uneia sau alteia dintre copertile celor doua volume... Este una din cele mai bune caricaturi ale secolului trecut, asa ceva trebuie invatat in liceu la clasa.
Access general
Conţine mesaje necitite
