Fie un polinom

.
Daca stim ca

peste tot, mai putin
multimea

rezulta ca

este
polinomul nul??
Eu zic ca da. Si cred ca se poate generaliza, dar ce proprietati trebuie sa aiba
acea multime?
Daca luam sa zicem

unde

sunt polinoame, rezulta acelasi lucru?
Din nou zic ca da. Insa n-am nicio idee cum s-ar justifica.

Peste numere reale sau peste numere complexe un argument posibil este cel de deformare / trecere la limita.
Anume, daca un punct
( x0, y0, ... )
este exclus si vrem sa vedem ca f se anuleaza si acolo, ne putem da un epsilon>0 si ne uitam la "cutia" B = B(epsilon) (box, pentru unii chiar bila...) cu acest punct drept centru si cu diametru epsilon.
Aratam ca in B exista cel putin un punct ne-exclus de la cunoasterea anularii lui f. (Vor fi o infinitate, desigur.)
B are un numar infinit (continuu numarabil) de elemente.
Deoarece punem un numar finit de conditii ajunge sa ne legam doar de una din multele conditii. (Din partea mea puteam pune si un numar numarabil de conditii de excludere.)

Daca nu "este asa", gasim un polinom nenul g de x,y,... care se anuleaza in toata bila B. Sa zicem ca x-ul "apare" in g.
Ne uitam la coeficientul principal c(y,...) al lui g fata de variabila x. Gasim inductiv elemente y1,... astfel incat (*,y1,...) este in B,
cu proprietatea ca numarul c(y1,...) nu se anuleaza.
Atunci polinomul de variabila x numai
g(x,y1,...)
nu este identic nul, are un numar finit de radacini pe care este usor sa le evitam in intervale de forma ( x0-e, x0+e ).

Daca in orice bila B( 1/N ) gasim un punct ( xN, yN, ... ) care nu este exclus,
stim ca f ( xN, yN, ... ) = 0.
Ramane sa trecem la limita cu N spre infinit.