Rezolvati triunghiul dreptunghic ABC (m<A=90grade), daca ma=3, mc=5, unde ma,mc reprezinta lungimile medianelor din A respectiv C.

daca ai o figura in fata atunci zicem asa:

(1)
apoi:

si folosind relatia (1) gasim ca

si

mie imi trebuie toate unghiurile si toate laturile sa le aflu

Fie desenam pe hartie milimetrica,
fie vedem ca avem in triunghiul tare dreptunghic de mai sus valorile explicite pentru a,b,c.

Unghiul de 90 de grade este singurul cu valoare "frumoasa". Celelalte pot fi citite in tabele de sin sau cos (dupa ce calculam doua rapoarte) sau cerute unui calculator de buzunar (sau unuia care are carte grafica de WoW).

si din tabele avem

iar

,adica aproximativ

iar

.

alta rezolvare nu mai este?
ca asta trebuie sa o fac ca si referat
ceva nivel de clasa a-10-a

Cele de mai sus sunt tiparite de oameni care nu au avut nici o banuiala ca e vorba de un referat, ci mai degraba de o problema tema de casa de clasa a VIII-a.
Cer scuze pentru prezentarea neclara, care asa cum este nu poate ajuta decat la rezolvarea problemei din partea unui elev care doreste sa-si inteleaga tema, nu sa si-o scrie. (Si pe departe nu puteam sa imi imaginez ca este vorba de cel mai tare referat de geometrie.)

In viata, partea cu scrisul este insa cel putin la fel de importanta, nu este in orice caz de bagatelizat. Incerc sa scriu aici ceva despre modul cum as scrie eu un referat pe aceasta tema.
As proceda in modul urmator:

- As cauta formula pentru mediana 'm' din A intr-un triunghi cu laturile a,b,c. Cele de mai sus presupun ca formula este cunoscuta. Dar daca nu, un referat poate sa-si ia timp sa inteleaga de unde vine aceasta formula.

- Cadrul in care formula este cel mai bine inteleasa este cel al unui paralelogram cu laturile a,b si diagonalele d,e. (Am ales repede notatii.)
Ei bine, exista o formula care leaga suma patratelor laturilor de suma patratelor diagonalelor. Nu as demonstra-o, dar as pomeni pentru elevii din clasa care chiar ma urmaresc ca rezulta, de exemplu pe constelatia paralelogramului usor de desenat, aplicand teorema lui Pitagora generalizata pe triunghiurile
-- cu laturile a,b si diagonala ce le uneste (poate d)
-- cu laturile b,a ce formeaza "celalalt" unghi si "cealalta" diagonala ce le uneste (poate e).
As spune ca nu e o problema daca nu mai stim teorema generalizata a lui Pitagora, dar daca acest paralelogram ar fi dreptunghi, atunci putem scrie formula uzuala si se vede imediat de unde vin patratele laturilor, respectiv ale diagonalelor.

- Dat acum triunghiul ABC cu laturile a,b,c as lua mijlocul O al lui BC, as extinde usor figura de asa natura incat sa dau de un paralelogram ABA'C cu centrul O, aici A' fiind desigur simetricul lui A fata de mijlocul O al lui BC, (BC devine astfel diagonala in paralelogramul ABA'C). Nu as scrie formule, as spune numai de ce putem deduce o formula pentru mediana din cele de mai sus.

- Mai departe as lua problema data si as aduna pe doua jumatati de tabla ce se da si ce se cere. Mai intai este mai usor cu ce se cere, se cer deocamdata laturile a,b,c ale triunghiului ABC care... Scriem a,b,c undeva unde se termina tabla, si intrebam retoric ce putem face... (Cineva va propune probabil fotbal. Asta intr-o scoala libera. Eu am avut una. Daca nu poate apare propunerea sub nici o forma, trebuie sa ne gandim adanc asupra rolului scolii in formarea de roboti. Propunerea trebuie luata in serios, se va supune la vot ce loc se improvizeaza drept vestiar.)

- Este clar ca trebuie sa folosim si ceea ce se da. Ceea ce se da se scrie sub forma de ecuatie. Ce se da?
- triunghiul e dreptunghic, deci putem scrie ceva de forma aa = bb + cc .
- prima mediana stiuta este ... (daca vrem sa o vedem in paralelogram, trebuie sa o dublam) scriem formula pentru ea si mai dam de o ecuatie.
- a doua mediana...

- Avem acum 3 ecuatii cu trei necunoscute. Rezolvam exemplar sistemul, scriind exact ce e scris mai sus. Daca avem latex (liber instalabil) putem copia codul si compila. Daca avem Word (deja instalat), putem culege litere si indici, fixa fontul pentru patrate, etc. Prima versiune este de preferat pentru mine, dar asta doar pentru ca nu as vrea sa ratez ocazia sa scriu cuvantul latex pe tabla, aranjand cu un coleg sa fiu fotografiat.

- Dam de valorile de mai sus. Le putem scrie si in forma zecimala, desena si masura cu schioapa pe tabla...

- Pentru a afla valorile unghiurilor, presupunem cunoasterea formulelor pentru sin si cos de unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic, in principiu cateta care trebuie supra ipotenuza.
(Cosinusul ia cateta care acosteaza unghiul de o parte, ipotenuza desigur de cealalta. Sinusul cere cateta "subintinsa" de unghi.)
Avem nevoie de un calculator de buzunar pentru a calcula arcsin( ... ) .
Dar cine mai are azi buzunar... ?!


N.B. Daca sunt si intrebari legate de matematica, aceasta pagina este un loc potrivit.