[Citat]
Am niste nelamuriri in ceea ce priveste polinoamele
de mai multe nedeterminate.
1. In primul rand, definirea riguroasa a conceptului.
R[X,Y]...
|
Ne miscam intr-o directie foarte "bourbakista".
Daca intrebarea despre fundamente este pusa, atunci trebuie raspunsa intr-un cadru organizat. (Pentru unii estetic, pentru altii birocratic.)
Plec de la ideea ca stim ce este o R-algebra (sau algebra peste un inel R dat, sa zicem ca este comutativ pentru inceput).
Ne uitam numai la R-algebre comutative.
Ne punem urmatoarea problema de "universalitate":
Consideram categoria R-algebrelor.
Ea codifica cumva in definitii ca obiectele ei sunt R-algebre, iar morfismele sunt morfisme de algebre care "comuta cu" (respecta) morfismele structurale din R in algebra respectiva.
Problema: Exista o "adunatura de date"
( U o R-algebra , (X,Y) tuplet de elemente din U )
cu proprietatea ca oricum alegem o "adunatura de date" de "acelasi fel"
( A, (a,b) )
exista si este unic un morfism de R-algebre numit "evaluare a lui X in a si a lui Y in b" ?
Raspunsul este: DA.
Constructia lui R[X,Y], un obiect cumva "liber, (comutativ) generat de X,Y" este facuta in majoritatea cartilor sub forma de R[X][Y] .
Bun.
Probleme de universalitate sunt multe.
Pentru nivel de scoala e greu sa gasesc un exemplu.
La nivel de facultate multe constructii (algebrice) sunt
definite prin proprietatea lor de universalitate.
Exemple:
inelul grupal asociat unui grup (cu functorul de liniarizare cu tot),
suma directa de spatii vectoriale (sau module),
produsul tensorial de spatii vectoriale (sau module),
(limite directe / proiective bazate pe diagrame de "puncte si sageti" cu "decoratiile" intr- categorie data),
inchiderea algebrica a unui corp,
...
Orice carte de algebra este plina de astfel de "nonsens general".
Bun. Acum toate aceste obiecte sunt definite pana la un izomorfism.
Pentru noi:
( R[X][Y] , (X,Y) )
este un astfel de obiect universal bun pentru problema pusa,
unde consideram X ca un polinom de grad 0 in Y si Y = 1.Y+0 ca un polinom de grad 1 in Y, unde 1 este unitatea in R[X], iar 0 ...
Este clar ca "identificam o droaie de lucruri".
Un om indaratnic poate sa se lege de asa ceva, se intampla foarte des in examene, caz in care putem sa-i explicam cu propriile lui arme propriul lui raspuns asteptat. Nu aici e problema in general.
La fel de bune sunt
( R[X][Y], (Y,X) )
( R[Y][X], (X,Y) )
( R[Y][X], (Y,X) )
si este clar cum definim izomorfismele respective din proprietatea de universalitate pentru o alegere contra unei alteia.
Pentru cei ce vor mai bine acceptiunea cu algebra grupala asociata unui grup dat, da, putem ascune mai departe lucrurile;
Un exemplu intai: Ce este inelul grupal peste ZZ asociat grupului permutarilor de trei elemente, sa le notam cu a,b,c ?
Iar grupul il notam cu S( {a,b,c} ) .
Pai este (intr-o incarnare a lui - unic pana la izomorfism) multimea
"combinatiilor liniare formale" de forma
s() + t(ab) + u(ac) + v(bc) + w(abc) + x(acb) ,
s,t,u,v,w,x din ZZ
(), (ab), ... elementele lui S( {a,b,c} ) scrise ca ciclii elementari.
Cum adunam doua astfel de combinatii liniare formale? E clar ca adunam pe componente.
Cum inmultim asa ceva? Pai avand in vedere ca trebuie sa asiguram distributivitatea trebuie sa definim cumva x.g inmultit cu y.h, unde x,y in ZZ si g,h permutari.
Luam desigur:
x.g inmultit cu y.h := (xy).(gh)
unde inmultirea xy are loc in (inelul) ZZ, iar "inmultirea" gh are loc in grupul de permutari.
(In carti se defineste sec asa ceva, se mai completeaza laconic cu "legea fiind prelungita prin liniarizare".)
La ce e bun un inel grupal de asta?
Sa zicem ca stim cam cum arata elementele dintr-un R[G], inelul grupal peste inelul R asociat grupului G.
Sunt combinatii liniare formale (finite) de x.g cu x din R si g din G.
Intrebare:
Fie R inel oarecare. (De exemplu IR, inelul -chiar corpul - numerelor reale.)
Ce este R[ IN ] ?
Aici IN este grupul numerelor naturale cu adunarea.
Elemente din R[ IN ] sunt combinatii liniare formale finite de forma
s[0] + t[1] + u[2] + ... + z[N] care trebuie sa se termine la un N - sunt finite. Aici am bagat 0,1,2,...,N -urile in paranteze patrate ca nu cumva sa aibe cineva ideea sa le scoata de acolo fara efort. (Si ca sa disting cumva [0] de 0-ul din R.) E notatie standard.
Daca inmultim doua astfel de elemente de ce dam?
Ce este R[ IN x IN ], unde IN x IN este produsul cartezian a doua copii de IN-uri, inzestrat ca grup cu operatia + de "adunare pe componente".
[Citat]
2. Exista o teorema asemanatoare teoremei impartirii cu rest de la polinoame
obisnuite, de o nedeterminata??
Adica, avand f si g din R[X,Y], exista unice q si r astfel incat f=gq+r??
|
Da, daca...
Punem pentru r conditia ca privit ca polinom din R[Y][X] sa fie in X-grad mai mic decat g si daca permitem sa scriem coeficienti functii rationale de Y.
Coeficientul principal considerat in scrierea fata de X - sa zicem - trebuie sa fie inversabil de asemenea.
Pot apare numitori, de exemplu daca impartim XXX + YYY la XY... Este impartirea cu rest in R(Y)[X], unde R(Y) este inelul de elemente (fractii) rationale peste R. NU apar numitori daca g-ul este monic in X sau mai general daca are un coeficient principal inversabil/nenul in R.)
[Citat]
3. E adevarat ca daca f(x,y)=0 pentru orice x, y din R, atunci polinomul e identic nul?
|
Da, propozitia e adevarata pentru orice corp infinit in locul lui R.
De ce?
Fie f neidentic nul in X,Y.
Privind f = f(X,Y) fie ca polinom de X cu coeficienti in R[Y] fie...
putem sa presupunem ca e de grad N > 0 in X de forma
f = f(X,Y) = a(Y) X^N + ...
Acum a(Y) nu este polinomul identic nul din R[Y].
Deci gasim un y cu a(y) diferit de 0. (Trebuie sa evitam cele cateva radacini ale lui a(Y)... Putem ca suntem cu un corp infinit la drum.)
Luam unul, oricare.
Atunci
f( X, y) = a(y) X^N + ... este un polinom din R[X] cu coeficienti reali, deci ajunge sa evitam cu un x cele N radacini ale lui...
[Citat]
4. Cum demonstrez riguros urmatoarea afirmatie:
Daca
e polinom din
cu proprietatea ca
pentru orice x real, atunci
este divizibil prin
.
De fapt asta m-a interesat in principal, si incercand s-o demonstrez riguros, am dat peste nelamuririle de mai sus.
|
Aceasta este (aproape) teorema lui Bezout pentru f din R[Y][X] si ce ne spune ea despre restul impartirii lui f la polinomul X-Y (monic in X).
Aici impartirea cu rest este veritabila, nu introducem numitori, pentru ca impartim cu ceva monic. (Coeficientul principal este inversabil.)
Dam de o relatie de forma:
f(X,Y) = (X-Y) q(X,Y) + r(Y) .
Fie x real.
Inlocuind, (folosim universalitatea pentru ( R[Y][X], (X,Y) ) si ( R, (x,x) )
obtinem:
f(x,x) = (x-x)q(x,x) + r(x) .
Deci pentru orice x avem r(x) = 0.
Atunci r este identic nul, altfel are grad, sa zicem n, deci are cel mult n radacini.
Access general
Conţine mesaje necitite
