Fie

un polinom ireductibil
peste

si

astfel incat

.
Demonstrati ca nu exista un polinom

de grad mai mic decat al lui

astfel incat

.

Avem de demonstrat un rezultat standard din teoria Galois, existenta polinomului minimal al unui numar algebric (peste Q).

Se poate si cu "mainile goale".
Presupunem prin absurd ca exista un polinom g de grad strict mai mic ca al lui f care are radacina <a>.

Aplicam algoritmul lui Euclid in mod repetat pentru f si g.
Gandindu-ne ca il aplicam peste IR, obtinem un divizor comun care se divide prin (X-a), deci este de grad cel putin 1.
Gandindu-ne ca il aplicam peste Q, obtinem un divizor comun care are toti coeficientii rationali.
Algoritmul lui Euclid aplicat este insa acelasi!
Deci f si g au un divizor comun r in Q[X] de grad >0. (r nu este o constanta.)

Deci r|f in Q[X]. Contradictie cu ireductibilitatea lui f.