Fie

radacinile ecuatiei

si

radacinile ecuatiei

.
Gasiti un polinom cu coeficienti intregi care admite radacina

Cu computerul...

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: R.<x,y,z> = QQ[]
sage: I = Ideal( x^3-1, y^4-2, z - (x+y^2) )

sage: I.elimination_ideal( [x,y] )
Ideal (z^6 - 6*z^4 - 2*z^3 + 12*z^2 - 12*z - 7) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Rational Field

sage: factor (z^6 - 6*z^4 - 2*z^3 + 12*z^2 - 12*z - 7)
(z^2 - 2*z - 1) * (z^4 + 2*z^3 - z^2 - 2*z + 7)


Acum cu mana.
Nu stim prea bine cine este x, radacina a lui XXX-1, si cine este y, radacina a lui YYYY - 2. In orice caz, yy este plus sau minus radical din 2.

Daca x este 1, atunci gasim repede un polinom ce anuleaza z = x+yy, anume
(Z-1)^2 - 2 .

Daca x nu este unu, teoria Galois imi spune sa ma leg si de conjugata, care este xx, patratul lui x. (Numerele x si xx sunt conjugate complex, poate mi se accepta si asa ceva pana la algebra de facultate.)

Conjugatul lui +radical(2) este -radical(2).

Teoria Galois imi spune sa ma leg atunci de polinomul:

Daca desfacem parantezele grupate (1,2) si (3,4) este "clar" ca dispare acel radical din doi, deci coeficientii sunt numai ceva "cu x".

Daca desfacem parantezele grupate (1,3) si (2,4) este "clar" ca dispare acel x, deci coeficientii sunt numai ceva "cu radical din doi".

Deci e clar...

Multumesc ptr rezolvari.
Bun sage-ul asta.