Se dau coordonatele varfurilor unui triunghi ABC. Cum putem verifica daca un punct dat P (de coordonate precizate) este in interiorul triunghiului ?

(1) Daca avem o dreapta AB determinata de punctele A,B, atunci putem sa-i scriem ecuatia, f(x,y) = 0, unde f este afina in x,y.
Doua puncte C si P se afla de aceeasi parte daca semnul lui f "in ele" este acelasi.

Putem verifica deci ca:
- P si C sunt sau nu de aceeasi parte a lui AB,
- P si B sunt sau nu de aceeasi parte a lui AC,
- P si A sunt sau nu de aceeasi parte a lui BC,
si trage concluzia.

(2) Exista o formula (determinant pe jumate) pentru aria CU SEMN (de orientare) a triunghiului ABC. Determinantul in cauza, sa-l notam cu D(A,B,C) are pe linii:
1,A1,A2 pe prima
1,B1,B2 pe a doua
1,C1,C2 pe a treia.

(Daca schimbam B si C, orientarea se schimba, la fel si semnul determinantului.)
(Pe scurt D(A,C,B) = -D(A,B,C).)

Aria, asa cum e ea in gimnaziu, se poate obtine luand modulul,
| D(A,B,C) | .

Conditia ca P sa fie in interiorul lui ABC poate fi exprimata prin arii (relativ usor de calculat.)

| D(A,B,C) | = | D(A,B,P)| + | D(A,P,C)| + | D(P,B,C)| .

Alternativ:

Printr-o translatie (pentru A,B,C;P), ne asiguram f.a.r.g. ca A este in(0,0).
Printr-o aplicatie liniara pe plan ducem B,C unic in punctele (1,0) si (0,1) respectiv. (Aceasta aplicatie liniara, data de inmultirea cu o matrice 2x2, se obtine in functie de B,C, scrise ca vectori coloana, prin...)
P se duce si el undeva.
Verificam usor ca noul P se afla in triunghiul cu varfurile (0,0), (1,0), (0,1).