Fie

?i

mul?imea matricelor p?tratice de ordinul

, inversabile în

, având elementele în mul?imea

. S? se arate c? mul?imea

are un num?r par de elemente.

Fie n fixat.
Daca n=1 nu avem probleme.
Ne legam deci de n>1.

Notam cu M multimea (stupida din punct de vedere structural) de matrici nxn inversabile cu elemente in A = {1,2,...,2006}.

Aratam ca M are un numar par de elemente.
Fie functia f: M -> M care schimba intre ele primele doua linii.
Deoarece f nu are puncte fixe X,
(deoarece din f(X)=X rezulta ca primele doua linii sunt dependente liniar, deci rang(X)<n, deci det(X)=0,)
rezulta ca putem grupa M in perechi (ce corespund claselor de echivalenta date de actiunea grupului simetric G=S(2) cu doua elemente pe multimea X, explicit, X ~ Y daca exista g din G cu g.X = Y).

Problema este rezolvata, sper ca ii este foarte utila celuia care a propus-o initial, ea apartine unui mod foarte brutal de imbinat structura matricilor cu nestructura creatiei si ii duce pe dezlegatori (de tip REBUS) pe carari gresite.
(Cautam ceva despre numarul de elemente ale unei multimi fara structura si fara utilitate, de fapt nu chiar numarul care e deja enorm pentru n=10 sa zicem, ci paritatea lui. Superb!)

Daca chiar ii este utila,
poate ii e utila informatia ca n! divide |M|, deoarece grupul S(n) cu n! elemente actioneaza structural (fie pe linii, fie pe coloane - eventual ne putem lega de S(n) x S(n) si sa cautam puncte fixe, dar ar fi o distractie fara rost aici).
Am intalnit chiar propunatori de probleme ghicitori care prefera varianta cu |M| est par variantei cu n! divide |M| deoarece cel ce rezolva "nu are puncte de reper".

Ii inteleg foarte bine pe propunatori (cimilitori) si la fel de bine pe cei ce cer rezolvarea (aflati in legitima aparare), dar sper ca sunt inteles si eu (aflat in postura de a arata partea utila, estetica, didactica si/sau structurala a matematicii).

Eu nu lucrez doar ce-mi place, lucrez si ce se cere. Daca asta se da la olimpiade, asta lucrez (problema s-a dat la o etapa locala). Ca sa schimbati mentalitatea elevilor, trebuie sa schimbati mai intai gandirea profesorilor; elevii nu-si pot propune singuri problemele.

Stiu, nu m-am legat aici de elevi, ci tocmai de gandirea din ce in ce mai bolnava a propunatorilor de probleme care isi creaza nishele lor proprii de trucaje, care nu mai au de mult prea mult in comun cu mersul matematicii in lume.

Scriu asa de vehement de asemenea pentru a arata elevilor ca eu sunt de partea lor, ca sa aiba incredere in propriul gust pentru estetica si matematica. Din pacate, si pe vremea mea matematica de olimpiade era o "adunatura de artificii", iar cei ce aveau acces la culegerile (neoficiale) de probleme a celor mai aproape de propunerea finala aveau un atu puternic, iar ceilalti erau nevoiti sa isi creeze propria lor "baza de date" de artificii. Actiunea formeaza in parte rutina, dar este o munca de prisos pentru cei ce chiar pot ajunge departe in matematica la facultate (si deci in viata in finante matematice, asigurari, grafica sau progres matematic, domenii care asigura un trai decent si sigur pe o intreaga viata,) daca percep invata din timp partea structurala a lucrurilor.

Sper din toata inima ca cel ce a adus asa ceva pe lume sa citeasca postarea mea, poate coboara de pe podiumul pe care sta si cauta lucruri utile. Ii stim cumva numele sau problemele se propun incognito?

Problema a fost propus? de prof. Marian Baroni.

Stimate domnule Baroni,

trecutul nu-l mai putem schimba si nici nu-l mai putem repeta (sper).
Cred insa ca suntem amandoi de parere ca o problema de forma

"Sa se calculeze numarul de elemente ale grupului matricilor 5x5 inversabile cu intrari in corpul cu 7 elemente."

este de preferat celei propuse - ce-i drept la nivel de a XII-a.
Desigur, nu putem semna sub ea, deoarece este din folclor, dar nu e rau, elevii nostri se au bine cu folclorul si invata ceva util.

O alta oferta, incerc sa vin cumva in intampinare, ar fi:

"Fie a o radacina de ordinul 3 a unitatii, a diferit de unu. Cate matrici 3x3 inversabile se pot forma cu intrarile din multimea A = { 1, a , aa } ? "

(Iar aici nu trebuie sa luam a-ul pe post de radacina de ordin N numar special pe langa 2011 in loc de 3-ul ales de mine, ajunge sa o publicam decent fie cu N mic, fie cu N general.)

Sa nu exageram.
E problema fiecaruia daca ii place sau nu
o anumita problema.
Daca propuneti o problema si-o dati la un concurs garantati ca va fi pe placul tuturor? (intrebare retorica).
Si ce treaba are concursul de matematica cu mersul matematicii in lume?
Mie de exemplu problema mi se pare interesanta,
iar ideea cu gruparea in perechi se poate folosi in multe probleme de acest gen.
Nu poti sa ceri la o olimpiada sa numere matrici, ala e exercitiu de clasa, ar fi absolut STUPID si ar inseamna sa-ti bati joc de cei care chiar s-au pregatit. Nu poti sa ceri la olimpiada doar probleme care merg pe "cale batuta". Se da si cate una de asta, sa nu se intoarca cu 0 puncte, dar nu se poate emite pretentia ca toate problemele sa fie facute de toata lumea. Ar compromite total ideea de concurs si departajarea concurentilor!
Iar daca nu iti plac problemele de olimpiada(ceea ce se intampla mai ales
cand nu stii sa le rezolvi), nu te obliga nimeni sa participi, la urma urmei!
Iar asta cu estetica desavarsita, etc e chestie de preferinta personala si chiar ma mira ca puneti atata accent pe asemenea lucruri absolut SUBIECTIVE.
Chiar si matematicienii au preferinte pentru anumite domenii in timp ce altele
li se par neinteresante. Ca sa nu mai zic de unii elevi, carora absolut nimic in matematica sau nimic din ce se face la scoala nu li se pare interesant sau "Estetic", mai ales daca presupune si depunerea unui efort.
Si nu sunt de loc de acord cu atacarea dlui profesor Baroni(pe care din intamplare il cunosc personal, si pot sa spun ca propune probleme foarte interesante la concursuri, nu s-a plans chiar nimeni vreodata-ca ar fi urate sau
inestetice sau alte astfel de afirmatii gratuite).
Nu va face cinste, dle gauss, sa atacati cu atata usurinta!
Si nu vad care e problema cu "artificiile", mai exact ideile de rezolvare
neasteptate. Astea pun la bataie INTELIGENTA si CREATIVITATEA concurentilor, nu doar aplicarea mecanica a unor algoritmi si formule, cum se face la clasa, si e de multe ori de 100 de ori mai STUPID decat ar putea fi vreodata problema dlui Baroni!
Aici da, le dau dreptate elevilor, matematica de clasa, asa cum se face la noi (la nivel de masa, cu toata clasa) si se cere la examene, e complet stupida si absolut inutila!! Nu formeaza absolut nimic, doar ii face pe cei mai multi sa deteste acest obiect. Energie irosita degeaba de elev sa invete mecanic formule si algorimti, energie si nervi irositi de profesor sa-l faca pe elev sa
priceapa tot felul de abstractiuni care ii sunt inutile atata timp cat nu devine matematician !

[Citat] Nu va face cinste, dle gauss, sa atacati cu atata usurinta!

Nu vad de ce considerati 'atac' o parere asupra genului de problema si nu inteleg cum ati dedus ca gauss cere pentru concursuri probleme care nu necesita inteligenta si creativitate de la concurenti. Va asigur ca gauss intelege mai bine decat (cel putin) 99% din utilizatorii acestui Forum ce gen de matematica este cautata pe piata mondiala. Putem dezvolta aceasta discutie pentru cei interesati.

[Citat] Va asigur ca gauss intelege mai bine decat (cel putin) 99% din utilizatorii acestui Forum ce gen de matematica este cautata pe piata mondiala. Putem dezvolta aceasta discutie pentru cei interesati.

Chiar sunt interesat de genul de matematica cautat pe "piata mondiala".
Si poate explicati care e legatura cu problemele care se dau la olimpiade.
Cred ca intelegem diferit notiunea de "olimpiada".
Si, nu in ultimul rand, ce ziceti de subiectele care se dau la BAC atunci??
Astea au legatura cu "piata mondiala"??

Deci, argumentele se cam lasa asteptate... Interesant cum insa ati postat
la doar 5 minute ptr a face pe avocatul...

[Citat] Deci, argumentele se cam lasa asteptate... Interesant cum insa ati postat la doar 5 minute ptr a face pe avocatul...

Este seara de Paste, asa ca haideti sa lasam deoparte certurile si atacurile. Imi pare rau ca am pornit toata aceasta discutie.

Hristos a inviat!