Sa se arate ca ecuatia

, in cazul

are 2 radacini reale distincte, dintre
care una dubla.
Subiectul este arhicunoscut, dar totusi o solutie de genul "vedem din formulele
generale ca 2 radacini devin, in acest caz, egale",asa cum am gasit mai peste tot unde am citit,
este chiar corecta? Chiar imi garanteaza asta ca solutia e dubla?

[Citat] Sa se arate ca ecuatia cu coeficienti intr-un corp arbitrar de caracteristica diferita de 3 si cu coeficienti p,q ce satisfac are o radacina dubla.

Pe scurt:
Rezultantul polinoamelor
f(x) = xxx + px + q si
f'(x) = 3xx + p
este zero, deci produsul diferentelor dintre cate doua radacini diferite (la patrat) se anuleaza, deci exista doua radacini egale.
(f'(x) este derivata formala.)

Pe larg:
Rezultantul este calculat in modul urmator:

f(x) impartit cu rest la f'(x) este: catul x/3, restul r(x) = 2px/3 + q).
f'(x) impartit cu rest la r(x) este: catul ?, restul dat de Bezout calculand f' in radacina

x1 = -3q/(2p) lui r

deci
restul = f'(x1) = f'( -3q/(2p) ) = ( 27 qq + 4ppp ) / (...) = 0 ,

deci in cazul din problema avem
f( -3q/(2p) ) = f'( -3q/(2p) ) = 0
de unde rezulta ca x1 = x2 = -3q/(2p) este radacina dubla pentru f.

O solutie complet independenta (si oarba) o putem da acum, deoarece a treia radacina x3 a lui f este (de asa natura incat Vieta, x1 + x2 + x3 = 0,)
+3q/p, calculand

( f - x1 )( f - x1 )( f + 2 x1 )

sage:

sage: R.<p,q,pinvers> = QQ[]
sage: I = Ideal( [ 4*p^3+27*q^2, p*pinvers-1 ] )
sage: S = R.quotient_ring(I)
sage: T.<x> = S[]

sage: R
Multivariate Polynomial Ring in p, q, pinvers over Rational Field
sage: I
Ideal (4*p^3 + 27*q^2, p*pinvers - 1) of Multivariate Polynomial Ring in p, q, pinvers over Rational Field
sage: S
Quotient of Multivariate Polynomial Ring in p, q, pinvers over Rational Field by the ideal (4*p^3 + 27*q^2, p*pinvers - 1)
sage: T
Univariate Polynomial Ring in x over Quotient of Multivariate Polynomial Ring in p, q, pinvers over Rational Field by the ideal (4*p^3 + 27*q^2, p*pinvers - 1)

sage: ( x-x1 )^2 * ( x+2*x1 )
x^3 + pbar*x + qbar