ABC-triunghi,

in cate moduri poate fi ales un punct D, in planul triunghiului, astfel incat multimea {A, B, C, D} sa admita axa de simetrie ?

Nu prea inteleg ce inseamna ca multimea {A,B,C,D} admite axa de simetrie.
Daca cerinta e ca patrulaterul ABCD sa admita axa de simetrie deocamdata as avea de facut observatia ca numarul cautat se afla undeva intre 3 si infinit.
3 se obtine daca-l construim pe D astfel incat fiecare latura a triunghiului sa fie axa de simetrie, iar in cazul triunghiului echilateral (chiar si pt cel isoscel) punctul D poate alerga pe intreaga bisectoare a fiecarui unghi.

Imi cer scuze, cazul isoscel/echilateral este exclus prin ipoteza (eu citeam conditia in sensul ca dreptele sunt distincte, adica triunghiul nu e degenerat, nu in sensul ca laturile triunghiului au lungimi distincte).

In orice caz, tinand cont ca pot construi 3 paralelograme si 3 trapeze isoscele, l-as putea alege pe D in cel putin 6 moduri, daca triunghiul nu e dreptunghic

Fie dreapta d axa de simetrie c?utat?. Sunt dou? cazuri :

1) Dreapta d trece printr-un vârf al triunghiului.

2) Dreapta d nu trece printr-un vârf al triunghiului. (...)
Triunghiul ABC ar putea fi ?i dreptunghic.
Întrez?resc 5 sau 6 moduri de alegere a punctului D.

[Citat] ABC-triunghi, in cate moduri poate fi ales un punct D, in planul triunghiului, astfel incat multimea {A, B, C, D} sa admita axa de simetrie ?

Pentru triunghiul oarecare, exista sase posibilitati de a alege axa de simetrie a multimii din enunt:

suporturile laturilor, si mediataorele laturilor.

Pentru fiecare dintre ele, exista o posibilitate de alegere a lui D.

Daca triunghiul este isoscel, dispare una dintre posibilitatile de mai sus, si anume mediatoarea bazei triunghiului. (In cazul triunghiului echilateral, dispar trei)

[Citat] Daca triunghiul este isoscel, dispare una dintre posibilitatile de mai sus, si anume mediatoarea bazei triunghiului. (In cazul triunghiului echilateral, dispar trei)

Aici m-ati cam pierdut...si cred ca mi-ar prinde bine niste explicatii suplimentare (intrucat eu vad altfel lucrurile, dar s-ar putea sa ma insel).

Ar fi posibil ca neintelegerea mea sa apara ca o consecinta a faptului ca in prima faza conceptul de axa de simetrie a unei multimi m-a surprins, dar apoi am ajuns la concluzia ca cerinta s-ar traduce: patrulaterul ABCD admite axe de simetrie.
Sau mi-as putea fabrica ad-hoc o definitie gen: se numeste axa de simetrie a multimii {A,B,C,D} o dreapta d fata de care punctele A,B,C,D sunt simetrizabile, avand simetricele A*,B*,C* respectiv D* si {A,B,C,D}={A*,B*,C*,D*}

In acest caz, pt un triunghi oarecare, intradevar putem construi punctul D in 6 moduri corespunzatoare cazurilor in care suporturile laturillor si mediatoarele laturilor sunt axe de simetrie pt patrulater (in trei cazuri punctul D va fi al patrulea varf al unui paralelogram, fiind simetricul unui varf al triunghiului fata de dreapta suport a laturii triunghiului, iar in celelalte 3 cazuri punctul D va fi al patrulea varf al unui trapez isoscel, caci 2 dintre varfurile triunghiului var fi simetrice unul celuilalt fata de mediatoarea d a unei laturi, iar D va fi simetricul fata de d al celuilalt varf al triunghiului).

Acum, in cazul unui triunghi isoscel, 5 cazuri sunt similare: cele 3 paralelograme si doua trapeze isosele se obtin exact la fel.
O diferenta apare pe cazul [AB]=[AC] si d=mediatoarea laturii BC.
B e simetricul lui C fata de d (si viceversa), dar A este pe d si practic nu mai pot construi un trapez isoscel...
Dar de ce nu pot considera ca A*=A ???
Din faptul ca {A,B,C,D}={A*,B*,C*,D*} si B*=C si C*=B ar iesi ca D=D*, deci si D e un punct pe d.
Astfel D s-ar putea plimba in multimea d-{A}.
Construindu-l astfel pe D iar as obtine ca d=mediatoarea lui BC e axa de simetrie.
Si in final tot 6 axe de simetrie as obtine si pt triunghiul isoscel.

[Citat] Astfel D s-ar putea plimba in multimea d-{A}. Construindu-l astfel pe D iar as obtine ca d=mediatoarea lui BC e axa de simetrie.

Aici ai perfecta dreptate, dar, in acest caz suportul laturii BC nu mai este axa de simetrie! Deci, daca axa de simetrie este mediatoarea lui [BC], nu este axa de simetrie dreapta BC, si viceversa.

Asa ca in cazul triunghiului isoscel sunt 5 axe de simetrie pentru multimea din enunt. In cazul specificat aici de tine, pentru D sunt o infinitate de moduri de a-l alege.

Chiar daca in ipoteza problemei cazurile triunghiului isoscel si echilateral sunt excluse, ele sunt mai interesante...