Sa se arate ca oricare ar fi numerele a, b, c din intervalul [0, 1], are loc inegalitatea :

[Citat] Sa se arate ca oricare ar fi numerele a, b, c din intervalul [0, 1], are loc inegalitatea :

Egalitatea nu poate avea loc, deoarece nu putem aranja ca (a-1/2), (b-1/2) si (c-1/2) sa fie in acelasi timp (plus sau minus) 1/2 si de semne doua cate doua diferite, ca sa dam de trei ori de acel minus 1/4.

N.B. In acest cadru ne putem intreba:
Care este minimul m si care este maximul M (atinse) pentru expresia

xy + yz + zy

cand x,y,z se plimba in intervalul [ -1/2 , 1/2 ] ?

Desigur ca M = 3/4...
Sa ne legam de minim.
Fara a restrange generalitatea putem presupune ca x,y,z sunt in aceasta ordine pe axa.

Daca x,y,z sunt toate mai mari sau egale cu zero, dam de ceva mai mare sau egal cu zero pentru xy+yz+zx.

Daca x,y,z sunt toate mai mici sau egale cu zero, dam de ceva mai mare sau egal cu zero pentru xy+yz+zx.

x,y,z sunt in aceasta ordine pe axa. Trebuie sa vedem cazurile in care avem semne mixte... Consideram cazul in care
x,0,y,z
sunt in aceasta ordine pe axa reala.
Atunci in expresia

xy + zy + zx = x(y+z) + yz

putem face "pagube maxime" cu x daca il luam -1/2 (pentru orice alegere a numerelor mai mari sau egale cu zero y,z).

Expresia
-1/4 + 1/4 -(y+z)/2 + yz = -1/4 +(y-1/2)(z-1/2)
are atunci minimul -1/4 atins pentru y=z=1/2.

Celalalt caz in care avem semne mixte este cel in care
x,y,0,z
sunt in aceasta ordine pe axa reala.
Atunci in expresia

xy + zy + zx = xy + (x+y)z

putem face "pagube maxime" cu z daca il luam +1/2 (pentru orice alegere a numerelor mai mici sau egale cu zero x,y).

Expresia
-1/4 + 1/4 +(x+y)/2 + xy = -1/4 +(x+1/2)(y+1/2)
are atunci minimul -1/4 atins pentru x=y=-1/2.

Deci m =-1/4 .
Cum putem reformula problema data "optimal" ?