Autor |
Mesaj |
|
Dreptunghiul cu dimensiunile 2010x1000 se împarte într'o re?ea de patrate unitare(au latura de 1). S? se determine prin câte patrate unitare trece diagonala dreptunghiului. Nu se numar? p?tratele cu care diagonala are un singur punct comun. Multumesc pentru orice idee.
|
|
Sa ne concentram asupra liniilor multe verticale si asupra celor multe orizontale care separa patratele unitate.
Ori de cate ori diagonala taie o astfel de linie (orizontala si/sau vericala) "incepe drumul printr-un nou patrat", cu cateva exceptii...
- prima / ultima din liniile verticale / orizontale trebuie considerata separat
- punctele laticiale de pe diagonala trebuie de asemenea analizate mai bine...
--- df (gauss)
|
|
pentru a determina de cate ori diagonala imi trece printr-un singur punct, am folosit faptul ca trighiul dreptunghic cu ipotenuza un segment din diagonala trebuie sa aiba laturile numere naturale. Din aceasta conditie am dedus ca acest numar este 10(daca nu am gresti ceva). Acum am ramas la a determina prin cate patrate unitare trece diagonala intr-un dreptunghi cu L=201 si l=100.
|
|
De cate ori taie diagonala asta toate verticalele ce delimiteaza patrate?
--- df (gauss)
|
|
200 de verticale si 99 de orizontale intr-un dreptunghi de 201x100...
Continuarea? Nu e nici pe departe atat de simpla pe cat pare, sau e? Oricum ar fi nu ii dau de capat. Inca putin ajutor, va rog?
|
|
Ori de cate ori taiem o linie verticala printr-un punct care nu este "colt" de patrat pasim intr-un nou patrat.
Ori de cate ori taiem o linie orizontala printr-un punct care nu este "colt" de patrat pasim intr-un nou patrat.
Ori de cate ori pasim intr-un nou parat taiem fie o linie orizontala, fie una verticala.
Sa vedem pe cateva exemple, unde putem desena ljer pe o foaie de matematica (cu patratele).
Daca luam configuratia de 3x2 patrate si ii ducem diagonala, taiem cu diagonala 4 o patrate.
ABC
DEF
anume, in ordine, D,E,B,C.
Putem numara asa (si ori de cate ori dau de un nou patrat marchez un x):
Inceputul:
Pe D il punem oricum la socoteala, este primul. (x)
(Eu plec din D, stanga jos, cu trasarea diagonalei pentru ca imi place cadranul I...)
Linii verticale:
Diagonala taie linia de demarcare dintre blocurile 1x2 (AD) si (BE), nu stim unde sau nu vrem, intre D si E sau intre A si B, dar pasim fie in E, fie in B, dam de un nou patrat taiat de diagonala, (x).
Diagonala taie linia de demarcare dintre blocurile 1x2 (BE) si (CF), nu stim unde sau nu vrem, intre E si F sau intre B si C, dar pasim fie in F, fie in C, dam de un nou patrat taiat de diagonala, (x).
Linii orizontale:
Diagonala taie linia de demarcare dintre blocurile 3x1 (ABC) si (DEF), nu stim unde sau nu vrem, intre A si D sau intre B si E sau intre C si F, dar pasim fie in A, fie in B, fie in C, dam de un nou patrat taiat de diagonala, (x).
Numarate asa, avem 1+2+1 patrate in care "intram".
(Ordinea nu conteaza, noi am numarat aici asa:
D, intrarea prima,
2 intrari la taierea celor doua linii verticale de demarcare in interiorul dreptunghiului,
o intrare la taierea liniei orizontale de demarcare in interiorul dreptunghiului.)
Cam la fel stau lucrurile si cu configuratia 3x3
ABC
DEF
GHI
numai ca pe diagonala stau 2 puncte laticiale (cu ambele coordonate intregi), anume intre G si E si intre E si C.
Adunarea din acest caz 1 + 2 + 2
numara dublu intrarea in patratul E, respectiv C.
Trebuie sa scadem 2 (numarul de puncte laticiale de pe diagonala cu exceptia extremitatilor diagonalei).
Deci formula este
1 + 2 + 2 - 2
si ea coincide cu rezultatul consultarii desenului,
(S-ar putea sa vina puristii sa-mi spuna ca trebuie sa numar si verticala/orizontala zero, iar intrarea in primul patrat sa o consider ca o intrare printr-un punct laticial... Rog a se uita aceasta paranteza daca nu e citita de un purist sau de un om tenace...)
Cum stau lucrurile cu dreptunghiurile 4x3, 5x3, 12x9 ?
N.B.
Ideea de numarare a fost descrisa intr-o postare mai sus.
Rog a se citi postarile si in caz de neintelegere de a se pune intrebari exacte asupra punctului de neintelegere. In cazul de fata, este bine de scris ceva de forma "nu inteleg legatura dintre numarul total de patrate muscate de diagonala si numarul de intrari prin linii verticale respectiv orizontale"...
Nu scriu asa ceva pe motivul ca nu mi s-a citit cine stie ce postare, ci dintr-un motiv mult mai important, anume pentru cel ce cauta solutia si are la indemana doar "o indicatie" scrisa in alt univers metaforic sau intr-o lume grabita si hartuita. Simpla scriere, delimitare a punctului, locului neintelegerii ajuta la dizolvarea neintelegerii!
Lucrul acesta este cu atat mai important cand omul citeste dintr-o carte si nu poate "reposta", face parte din arsenalul invatarii active.
--- df (gauss)
|
|
Urmarind strategia de numarare si incercand exemplele propuse la final am ajuns la o generalizare a numarului de patrate cerut si amume:
L+l-1-numarul punctelor laticiale (dimensiunile dreptunghiului)
Este corect?
|
|
[Citat] Dreptunghiul cu dimensiunile 2010x1000 se împarte într'o re?ea de patrate unitare(au latura de 1). S? se determine prin câte patrate unitare trece diagonala dreptunghiului. Nu se numar? p?tratele cu care diagonala are un singur punct comun. Multumesc pentru orice idee. |
Folosind rezultatul de la prima problema din primul material de la aceasta pagina
http://www.google.ro/search?q=multimi+laticeale&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&client=firefox&rlz=1R1GGLL_ro___RO426
ajungem la concluzia ca pentru un dreptunghi cu laturile L si l, numarul de puncte de coordonate intregi de pe diagonala este de (L;l)+1, in cazul nostru 11. Rezultatul coincide cu cel gasit de dorinpetrut mai sus. In dreptunghiul cu catetele de 201 si 100 (gasit de dorinpetrut mai sus), ipotenuza taie exact 300 de patrate cu latura 1, deci in total 3000. Pentru justificare mai am nevoie de timp... Am rectificat rezultatul anterior, care era eronat.
--- C.Telteu
|
|
Uploaded with ImageShack.us
Folosind separarea planului in regiuni, constatam ca :
- punctele de coordonate (2k-1;k); (2k;k) si (2k+1;k+1) sunt deasupra ipotenuzei pentru orice k=1,2,...100, exceptia fiind punctul (2k;k) pentru k=0, cand se afla chiar pe ipotenuza.
- punctele de coordonate (2k-1;k-1); (2k;k-1) si (2k+1;k) sunt sub ipotenuza, exceptie facand punctul (2k+1;k) pentru k=100, cand se afla chiar pe ipotenuza. Acum sunt usor de numarat patratele taiate de ipotenuza. Se obtine 300 pentru triunghiul cu catetele 201 si 100. Fiind zece astfel de triunghiuri, rezultatul final este 3000.
Uploaded with ImageShack.us
--- C.Telteu
|
|
Va multumesc foarte mult! Am sa studiez raspunsul dumneavoastra maine dimineata. Ideea de a folosii ecuatia diagonalei e foarte interesanta. Multumesc!
|