Fie ecuatia algebrica

cu radacinile

.
Eliminam

din relatiile:

(se face intai impartirea)

obtinand o ecuatie

.
Sa se demonstreze ca toate radacinile ecuatiei

sunt toate diferentele nenule de forma

ale radacinilor ecuatiei initiale.
sa se formeze apoi ecuatia care are ca radacini toate patratele acestor diferente nenule.

[Citat] Fie ecuatia algebrica cu radacinile DISTINCTE peste corpul numerelor complexe. Eliminam din relatiile: (se face intai impartirea) obtinand o ecuatie . Sa se demonstreze ca toate radacinile ecuatiei sunt toate diferentele nenule de forma ale radacinilor ecuatiei initiale. sa se formeze apoi ecuatia care are ca radacini toate patratele acestor diferente nenule.

Tehnica eliminarii presupune ca "stim sa eliminam" in contextul matematic corespunzator. Fara inele si ideale (algebra comutativa) nu ajungem departe.

In cazul de fata, faptul ca "g se obtine dupa o eliminare..." inseamna in particular ca avem o relatie de forma

cu polinoame corespunzatoare A,B,C (fara divizor comun polinom de y...).

Avem doua directii de aratat.

Prima, fie x,x' doua radacini distincte pentru f. Vrem sa aratam ca (x-x') este radacina a lui g. Luam in relatia de mai sus specializarile:
y = (x-x')
u = x
v = x'.
Dam repede de g( x-x' ) = 0.

Eliminarea se poate explicita aici, mai intai ne scapam de v cu relatia v=u-y, iar apoi ne scapam de u, calculand rezultantul polinoamelor
f(u) si
( f(u) - f(u-y) ) / ( u-(u-y) ) ,
deci avem informatii foarte utile despre A,B,C, despre gradele lor si despre gradul lui g... Informatia despre gradul lui g ne ajunge in cazul "generic" pentru a transa partea cu viceversa.

Detaliile le putem discuta dupa ce clarificam definitia clara a eliminarii.

Nota:
Daca f(u) = u^N, atunci procesul de eliminare ne da un g cu
g(y) = y^(2N-2)...
Ideea este ca avem de eliminat u dintre
u^N
si expresia aproape binomiala
N u^(N-1) +/- ... +/- N u y^(N-2) +/- y^(N-1) ...

Am ajuns acasa, asa ca pot sa dau si eu drumul la masina de calculat, sage:


sage: QQ
Rational Field
sage: R.<u,v,y> = QQ[]
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field
sage: var('x');
sage: f(x) = (x-1)*(x-2)*(x-7)
sage: f(x).expand()
x^3 - 10*x^2 + 23*x - 14
sage: ( ( f(u)-f(v) ) / (u-v) ) . simplify_rational() . expand()
u^2 + u*v + v^2 - 10*u - 10*v + 23
sage:
sage: I = Ideal( (u-1)*(u-2)*(u-7), u^2 + u*v + v^2 - 10*u - 10*v + 23, y-(u-v) )
sage: I
Ideal (u^3 - 10*u^2 + 23*u - 14, u^2 + u*v + v^2 - 10*u - 10*v + 23, -u + v + y) of Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field
sage: I.elimination_ideal( [u,v] )
Ideal (y^6 - 62*y^4 + 961*y^2 - 900) of Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field
sage: factor(y^6 - 62*y^4 + 961*y^2 - 900)
(y - 6) * (y - 5) * (y - 1) * (y + 1) * (y + 5) * (y + 6)


Mai sus am definit inelul R a fi QQ[ u,v,y ], inelul polinomial peste corpul QQ al numerelor rationale in trei variabile (transcendente - adica fara nici o legatura algebrica una cu alta) u,v,y.
Aici mi-am dat idealul I, care codifica cel mai bine procesul de eliminare propus in problema de mai sus pentru cazul special al polinomului f dat de formula:

f(x) = (x-1)(x-2)(x-7)

radacinile lui sunt 1,2,7, iar problema de mai sus promite ca dupa eliminare dam de un polinom in y cu radacinile
(1-2), (2-1),
(1-7), (7-1),
(2-7), (7-2).

Da, am asociat idealul, am facut eliminarea, am dat de g, care chiar are aceste radacini.

Acelasi lucru putem sa-l facem cu un polinom in care se imbulzesc unele radacini unele in altele. De exemplu:


sage: R.<u,v,y> = QQ[]
sage: I = Ideal( u^3, u^2 + u*v + v^2, y-(u-v) )
sage: I.elimination_ideal( [u,v] )
Ideal (y^4) of Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field
sage:
sage: R.<u,v,y> = QQ[]
sage: I = Ideal( u^10, sum( [ u^k * v^(9-k) for k in [0..9] ] ), y-(u-v) )
sage: I
Ideal (u^10, u^9 + u^8*v + u^7*v^2 + u^6*v^3 + u^5*v^4 + u^4*v^5 + u^3*v^6 + u^2*v^7 + u*v^8 + v^9, -u + v + y) of Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field
sage: I.elimination_ideal( [u,v] )
Ideal (y^18) of Multivariate Polynomial Ring in u, v, y over Rational Field


Mai ales in astfel de cazuri recomand folosirea computerului.
El ajuta la formarea intuitiei prin experimentare libera si da pentru probleme greu de abordat cu creionul cateva exemple de testarea a gandurilor.

Multumesc!
Marturisesc ca si eu mi-am pus problema
definitiei clare a eliminarii.
Am citit ceva la nivelul asta, dar doar despre rezultanti.
Aparent, lucrurile sunt clare: daca ni se dau 2 polinoame, putem sa
le calculam rezultantul relativ usor, avem formula.
Insa ce mi se pare mai interesant e urmatorul lucru: daca eu nu fac eliminarea
folosind formula rezultantului, ci o fac altfel: de ex prin substitutie sau diferite combinatii, cine imi garanteaza mie ca ajung la acelasi rezultat ca si
cu formula rezultantului??
De ex, daca am relatiile:

(x+y)^2-2(x+y)+1=0 si
x^2-2x+1=0

Care e rezultatul eliminarii lui x??
Daca fac cu rezultantul imi da y^4=0.
Dar pot sa fac altfel, imediat rezulta ca
2xy=2y-y^2.
De aici as vrea sa-l scot pe x, dar ce fac cand y este 0?
Si chiar de-l scot pe x si-l introduc in cealalta relatie, ajung
la y^2=0.
Deci nu ajung la y^4=0. Destul de ciudat...

Dupa cum probabil ati observat, ma intereseaza aceste chestiuni
mai mult dintr-un punct de vedere teoretic, formal.
De aceea am sa incerc sa formulez mai riguros nelamurirea mea
privind eliminarea.


Sa zicem ca avem sistemul:

unde

sunt polinoame.
Ce inseamna exact "sa eliminam pe

$ intre(din) cele doua relatii??
In teoria eliminarii, daca spun bine, eliminarea inseamna a gasi alte
doua polinoame

astfel incat

e polinom numai de

.
Ba se poate indica chiar si o formula pentru rezultatul eliminarii: acesta este
chiar rezultantul celor doua polinoame(privite ca polinoame in

).
Asta s-ar parea sa fie punctul de vedere al teoriei generale.
Dar ce nu mi-e clar e urmatorul lucru: putem face eliminarea prin substitutie.
Sa presupunem ca, din

, il putem scoate pe

ca functie rationala de

:

, apoi inlocuim acest

in

obtinand

(ar fi si aici de discutat putin anularea numitorului lui

)
Acum vine problema esentiala: Este acest

acelasi cu

de mai sus ?? Adica, se poate exprima ca

?
Este

rezultantul lui

? Sau care e legatura dintre ele?
deci este aceasta substitutie in acord cu definitia generala a eliminarii,
sau nu?
Ca ma gandesc ca practic, cand elimin

dintre doua relatii, trebuie sa gasesc o consecinta a lor care nu contine

. Si asta o pot face ori prin substitutie, ori
prin diferite combinatii

, alte procedee nu vad, sau ne scot din cadrul polinomial. E substitutia un caz particular de combinatii??


Sa luam si un exemplu concret:
Polinoamele sunt:

Scoatem

din prima relatie,

(

nu poate fi zero) si introducem in a doua:

(dupa ce facem calculul)
Exista atunci doua polinoame

si

astfel incat

??
Dupa ceva invartire, am gasit relatia:

Dar cum justific cazul general??

Multumesc mult pentru munca depusa pentru stabilirea cadrului si plasarea problemei. Imi este foarte usor sa complementez cele de mai sus cu bruma de algebra comutativa pe care o car cu mine.

[Citat] Sa zicem ca avem sistemul: unde sunt polinoame. Ce inseamna exact "sa eliminam pe $ intre(din) cele doua relatii?? In teoria eliminarii, daca spun bine, eliminarea inseamna a gasi alte doua polinoame astfel incat e polinom numai de .

In limbajul (modern) al algebrei comutative lucrurile de mai sus se traduc dupa cum urmeaza:

Fie R = Q[x,y] inelul polinomial (comutativ) in doua variabile (transcendente) x,y.
Fie f,g doua polinoame din R (in care vedem si un y).
Fie I idealul generat de aceste elemente. El este notat cu (f,g) in literatura.

(Definitie: Un subgrup aditiv (I,+) al lui (R,+) este un ideal daca are si proprietatea de "absorbtie", inmultirea cu elemente din I aterizeaza tot in I, pe scurt I.R este submultime a lui I.

Exemplu: Multimea intregilor divizibili cu N (intreg), notata N.ZZ, este un ideal in ZZ.)

Atunci
I = (f,g) = { af+bg din R | a,b in R } .

Inelul R are un subinel, S = Q[x].
Fie J intersectia lui I cu S.
Este J un ideal al lui S? Da, prin definitie, ramane stabil la adunare, iar daca plecam cu s din S si il inmultim cu ceva din J este desigur si in I, si in S, deci si in J.

[Citat] Dar ce nu mi-e clar e urmatorul lucru: putem face eliminarea prin substitutie. Sa presupunem ca, din , il putem scoate pe ca functie rationala de : , apoi inlocuim acest in obtinand (ar fi si aici de discutat putin anularea numitorului lui ) si inmultind cu puterea corespunzatoare a lui q pentru a scapa de numitori. (Acest lucru trebuie sa fie de fapt posibil fara a introduce numitori...) Acum vine problema esentiala: Este acest , inmultit cu puterea corespunzatoare a lui q acelasi cu de mai sus ?? .... E substitutia un caz particular de combinatii??

In algebra comutativa (si in geometria algebrica) introducerea de numitori corespunde unui procedeu de "localizare". Substitutiile rationale facute introduc numitori, iar calculele se fac "in afara punctelor ce anuleaza acesti numitori". Facand astfel de calcule algebrice, obtinem o anumita relatie. Relatia obtinuta corespunde uneia in care "nu introducem numitori" ci facem calculele prin amplificari repetate ale calculelor cu numitori.

Obtinem acelasi rezultat daca si numai daca nu introducem in plus sau in minus numitori... Definitia formala exacta este cea de mai sus. Egalitatea de ideale pe baza de generatori este usor de stabilit. (Reprezentare reciproca a generatorilor dintr-o reprezentare in functie de cei din cealalta.)

[Citat] Sa luam si un exemplu concret: Polinoamele sunt: Scoatem din prima relatie, ( nu poate fi zero) si introducem in a doua: (dupa ce facem calculul) Exista atunci doua polinoame si astfel incat ?? Dupa ceva invartire, am gasit relatia: Dar cum justific cazul general??

Cazul general este probabil o examinare atenta a rezultatului.
Mai sus am facut o substitutie (y=-x-2) care introdusa in relatia finala ucide termenul cu b. Iar (xx+xy+1) devine (-2x+1), de aceea este usor de "ghicit" a=-1, daca consideram ca 2x-1 trebuie sa fie generatorul.
(Daca am fi avut numitori, trebuia sa lucram mai atenti.)


Sa mai luam un exemplu:

[Citat] (x+y)^2-2(x+y)+1=0 si x^2-2x+1=0 Care e rezultatul eliminarii lui x?? Daca fac cu rezultantul imi da y^4=0. Dar pot sa fac altfel, imediat rezulta ca 2xy=2y-y^2. De aici as vrea sa-l scot pe x, dar ce fac cand y este 0? Si chiar de-l scot pe x si-l introduc in cealalta relatie, ajung la y^2=0. Deci nu ajung la y^4=0. Destul de ciudat...

Pentru a-l scoate pe x (ca fractie rationala), trebuie sa impartim cu y, lucru nepermis (in algebra comutativa peste inel, nu corp). Dar putem face ceva "asemanator", anume, folosim xy = y-y²/2 fara a imparti cu y...

Plecam cu x^2-2x+1=0 .
Inmultim cu y² .
Dam de

in conformitate cu calculul rezultantului. (Acel 1/4 este o unitate peste Q.)

Intrebarea care atinge esenta este poate: Dar de ce nu putem sa inlocuim x=1 din start, de vreme ce patratul ui (x-1) se anuleaza? Raspunsul care ne da de gandit ar putea fi: "Daca suntem in lumea algebrei comutative, lucram peste un inel de obicei, nu peste un corp, si exista multe inele (comutative) in care ceva patrat este zeroul din inel, dar acel ceva luat singur nu.
Exemple e astfel de inele (cu elemente nilpotente) sunt:

ZZ modul 4,
ZZ modulo 1024,
Q[X] modulo XX,
Q[X] modulo XXXXXXX,

si in cele de mai sus putem face simplificari, doar daca suntem convinsi ca ele se pot face cu calcule in inele pentru orice valori posibile pentru x,y,... din orice alegere a unui "inel peste Q" (deci a unei algebre peste Q mai exact).

Lucrurile se complica si mai mult, daca de exemplu nu permitem inversarea lui 2,3,5,... (deci daca lucram peste ZZ, nu peste Q).

[Citat] [Citat] (x+y)^2-2(x+y)+1=0 si x^2-2x+1=0 Intrebarea care atinge esenta este poate: Dar de ce nu putem sa inlocuim x=1 din start, de vreme ce patratul lui (x-1) se anuleaza? Raspunsul care ne da de gandit ar putea fi: "Daca suntem in lumea algebrei comutative, lucram peste un inel de obicei, nu peste un corp, si exista multe inele (comutative) in care ceva patrat este zeroul din inel, dar acel ceva luat singur nu.

Totusi daca lucram peste

, atunci chiar rezulta

(de fapt x=1 e un fel de radacina dubla...), iar
inlocuind in prima relatie, gasim

. In definitiv,

ca valoare
nu poate fi decat 0.
Totusi care e "semnificatia algebrica" a lui

(de la rezultant) sau

(obtinut prin inlocuirea lui

) ?? Ceva
legat de multiplicitate? Daca privim cele 2 relatii de mai sus ca un sistem de ecuatii, exista notiunea de "solutie multipla" pentru un sistem de ecuatii polinomiale??

Noi lucram peste numerele complexe, care formeaza un corp, C, dar exista inele ce contin structural C si nu sunt corp, dar sunt foarte interesante din punctul de vedere al algebrei si analizei.

Un exemplu este R = C[X] modulo (X la a 5-a), inelul polinoamelor Taylor cu coeficienti complecsi trunchiat modulo O( XXXXX ),
iar daca vrem sa rezolvam sistemul

(x+y)^2-2(x+y)+1=0 si
x^2-2x+1=0

fara sa excludem valori ale variabilelor in acest inel R, atunci trebuie sa fim mai atenti cu simplificarile algebrice.
Trebuie sa fim oricum, daca vrem sa dam de o versiune cat mai apropiata a rezultantului celor doua polinoame. Daca nu vrem subtilitati, putem din prima renunta forma exacta din a doua ecuatie, lucrand direct cu x-1=0 in locul ei.

Da, informatia pe care o obtinem facand calculele eliminarii exact,
fara impartiri si fara (xx=0 implica x=0) ,
determina multiplicitatea corecta a (componentelor) curbei algebrice (afine) data de sistemul algebric in cauza.

Pentru a intelege notiunea de curba (sau varietate) algebrica (afina), un prim pas in geometria algebrica, (sunt multi romani pe aici acum si nu vad de ce sa schimbam lucrurile,) trebuie de obicei investit un efort de intelegere a inelelor (noetheriene), a modului cum stau idealele prime in ele, etc.
Eu n-am avut de ales, a trebuit sa citesc Hartshorne,

[url]http://www.google.ro/#source=hp&q=hartshorne+algebraic+geometry

dat fiind faptul ca trebuia de asemenea sa inteleg si teoriile homologice asociate, dar intre timp sunt multe alte cai de inceput.
Pentru cei ce vor sa inteleaga lucrurile "prin calcul", fara computer nu se poate, dar cu el (sau orb, dar pe un drum bun fara el) notiunea de baza Groebner si algoritmul lui Buchberger

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Buchberger%27s_algorithm

deschid o lume interesanta.

Tot referitor la ce s-a discutat aici, mai am o nelamurire:
Fie doua polinoame

si

cu coeficienti complecsi
si un alt polinom

care depinde doar de

astfel incat are loc
proprietatea:
daca

si

atunci

.
(mai exact, r-ul asta e un fel de rezultat al unei eliminari a lui

intre relatiile

si

prin orice metoda posibila.
Intrebarea: care este atunci legatura intre polinomul

si rezultantul
celor doua polinoame calculat in raport cu

??
Este adevarat ca

trebuie sa divida acest rezultant??