Dandu-se ecuatia

, cu radacinile

, gasiti ecuatia in

cu radacinile

Intr-o carte mai veche(de O Sacter, 1962), am gasit urmatoarea solutie:
"Vom obtine ecuatia data punand conditia ca polinoamele in

si

sa aiba o radacina comuna, ceea ce este echivalent cu faptul ca aceste polinoame nu sunt prime intre ele.
Apoi foloseste algoritmul lui Euclid si pune conditia ca ultimul rest, care depinde doar de

, sa fie zero, obtinand ecuatia:

Dar de ce metoda functioneaza??

Aplicand repetat algoritmul lui Euclid pentru polinoamele

obtinem implicit sau explicit doua polinoame
A=A(z,y),
B=B(z,y)
si rezultantul R=R(y) cu

(AP + BQ)(z,y) = R(y)

Daca s (tot un fel de z) este radacina a lui P, P(s) = 0, atunci desigur ca

0 = (AP + BQ)(s,ss) = R(ss),

deci (s patrat) este o radacina a lui R.

Reciproca rezulta acum (fara investigari complicate ale naturii eliminarii) in cazul generic,
in care cele patru radacini ale lui P dau patru patrate diferite,
deoarece avem patru radacini diferite pentru R de grad patru.

Cazul special (negeneric, care se intampla pe un subspatiu de codimensiune unu, de dimensiune 3 al spatiului afin in care se plimba coordonatele (a,b,c,d), coeficientii lui P) in care "pot apare probleme" se reduce prin deformare algebrica la cel generic.

Dau doar un exemplu ilustrativ, pentru a vedea ideea si cat de mult loc de intros avem...

Sa zicem ca plecam cu P-ul de mai sus, coeficientii sunt a,b,c,d, iar radacinile s,t,u,v. Sa zicem ca in lista patratelor
ss, tt, uu, vv
apar coincidente, care ne stau in calea argumentului generic de mai sus.
Fie e (un fel de epsilon) > 0 parametru de deformare.

Asociem polinomul P(e,z) cu radacinile
s, t+e, u+ee, v+eee
(iar cei ce vor sa abuzeze de libertate pot gandi ca ee este o variabila noua, nu patratul lui e). In lista patratelor
ss, (t+e)(t+e), (u+ee)(u+ee), (v+eee)(v+eee)
ar trebui sa avem acum pentru e intr-un interval convenabil (0,?) patru numere diferite. Daca nu, incercam cu
s, t+23348795 e, u + 928374564 eeee - 9803457203 eee, v - eeeeeeeeeee
poate mai bine. (Demonstratie prin convingere.)

Atunci R-ul corespunzator, R(e,y) are patru radacini distincte,
ss, (t+e)(t+e), (u+ee)(u+ee), (v+eee)(v+eee).

Cu alte cuvinte avem egalitatea:

R(e,y) =
( y - ss )
( y - (t+e)(t+e) )
( y - (u+ee)(u+ee) )
( y - (v+eee)(v+eee) )

care are loc pentru orice e>0 suficient de mic.

Desfacem parantezele si dam de coeficientii lui R, care depind algebric de coeficientii lui P(e,-), notati sa zicem cu A(e), B(e), C(e), D(e),
si deoarece R(e,y) se obtine din P(e,z) printr-un procedeu algebric usor de urmarit,
A(0) = a ,
B(0) = b ,
C(0) = c ,
D(0) = d .

Acum, daca vrem neaparat, putem argumenta prin "inlocuire" (e=0), nu prin "trecere la limita" (e->0) pentru a vedea ca si cazul limita este cum dorim.

Rugaminte finala:
As dori o propunere care sa rezolve problema urmatoare:
Cum putem face ca sa atingem si o buna parte de idei, nu numai cea formala?
Devine obositor pentru mine sa raspund in compuneri, oricum obosit dupa o zi grea de munca, sa formez propozitii pentru a ilustra drumul si sa primesc inapoi doar intrebari in care drumul nu se descrie usor fara cunostinte suplimentare...

Nota:
Putem considera imediat cazul generic prin luarea a patru variabile transcendente
s,t,u,v
si a functiilor elementare corespunzatoare
a,b,c,d in K = QQ(s,t,u,v) .

Atunci P-ul dat de
P( z ) = (z-s)(z-t)(z-u)(z-v) = zzzz + a zzz + b zz + c z + d

are patru radacini diferite, iar problema ne spune ca facem rost de o egalitate de forma

A P + B (y-zz) = R(y) = (y-ss)(y-tt)(y-uu)(y-vv) ,

unde A, B depind de y,z; s,t,u,v.
In cazul in care se da un P particular, particularizam si s,t,u,v...


Nota:
Calculele pot fi reproduse (in sensul de mai sus) dupa cum urmeaza pe computer (sage):


sage: D.<a,b,c,d, y,z> = QQ[]
sage: D
Multivariate Polynomial Ring in a, b, c, d, y, z over Rational Field

sage: P = z^4 + a*z^3 + b*z^2 + c*z + d
sage: Q = z^2 - y

sage: I = Ideal( P,Q )
sage: I.elimination_ideal( [z] )
Ideal (a^2*y^3 - b^2*y^2 + 2*a*c*y^2 - 2*b*y^3 - y^4 + c^2*y - 2*b*d*y - 2*d*y^2 - d^2) of Multivariate Polynomial Ring in a, b, c, d, y, z over Rational Field

sage: (a^2*y^3 - b^2*y^2 + 2*a*c*y^2 - 2*b*y^3 - y^4 + c^2*y - 2*b*d*y - 2*d*y^2 - d^2) == - (y^2+b*y+d)^2 + y*(a*y+c)^2
True