Cu scuze pentru lipsa indelungata de pe acest site si cu speranta ca o sa incerc sa revin mai des as dori si eu cateva lamuriri in legatura cu functia putere.

In general, prezentarea acestei functii se face analizand tipul exponentului si in functie de acesta se stabileste domeniul; in general analiza se face pentru exponenti de la N la R.

Consideram ca functia este f:D->R, f(x)=x^a.
Lucrurile pe care vrau sa mi le clarific sunt urmatoarele

1) Ce se intampla pentru exponet nul?

La aceasta adresa
http://www.milefoot.com/math/calculus/limits/AlgContinuityProofs07.htm

domeniul in acest caz este considerat R\{0}

Alti autori

http://mathonweb.com/help_ebook/html/functions_5.htm

sau

http://www.math.dartmouth.edu/opencalc2/cole/lecture23.pdf

considera ca 0^0=1.

Ganga spune ca pentru a=0 functia devine f(x)=1 cu D=R. Este aceasta functie "aceeasi" cu f(x)=x^0 cu D=R ? Este evident ca pentru functia constanta domeniul este tot R.

Conform lui Siretchi(pag. 108) functia constanta si functia putere (fara sa o defineasca) fac parte din clasa functiilor elementare de baza (E0). De aici as deduce ca sunt diferite ceea ce m-ar determina sa consider mai degraba ca D=R\{0} pentru f(x)=x^0 si deci nu este acelasi lucru cu f(x)=1 cu D=R.

2) Tot Siretchi considera ca f:R->R, f(x)=x^n este o functie obtinuta prin inmultire repetata a functiei identitate si din ea se pot construi functiile polinomiale si rationale. Deci are sens sa vorbim despre functie putere cu exponent natural sau intreg? Ma refer doar la terminologie. Manualele de preuniversitar trec destul de succint peste aceasta problema.

3) Acelasi Siretchi considera functia radical ca fiind un caz particular de functie putere si o include in clasa functiilor elementare E. Pai daca e caz particular al unei functii elementare de baza de ce nu consideram ca ea se gaseste deja in E0? Ceea ce nu inteleg este la ce functie putere se refera Siretchi.

4)Ar fi suficient sa definim functia putere astfel: f(x)=x^a, a real nenul si D=(0,infinit) ?

5) Are sens sa vorbim de numere negative la puteri irationale? Si daca da, cum aratam elementar ca un astfel de numar nu este real?

[Citat] Cu scuze pentru lipsa indelungata de pe acest site si cu speranta ca o sa incerc sa revin mai des

Bine ati revenit!

[Citat] Consideram ca functia este f:D->R, f(x)=x^a. Lucrurile pe care vrau sa mi le clarific sunt urmatoarele 1) Ce se intampla pentru exponent nul? La aceasta adresa http://www.milefoot.com/math/calculus/limits/AlgContinuityProofs07.htm domeniul in acest caz este considerat R\{0} Alti autori http://mathonweb.com/help_ebook/html/functions_5.htm sau http://www.math.dartmouth.edu/opencalc2/cole/lecture23.pdf considera ca 0^0=1. Ganga spune ca pentru a=0 functia devine f(x)=1 cu D=R. Este aceasta functie "aceeasi" cu f(x)=x^0 cu D=R ? Este evident ca pentru functia constanta domeniul este tot R. Conform lui Siretchi(pag. 108) functia constanta si functia putere (fara sa o defineasca) fac parte din clasa functiilor elementare de baza (E0). De aici as deduce ca sunt diferite ceea ce m-ar determina sa consider mai degraba ca D=R\{0} pentru f(x)=x^0 si deci nu este acelasi lucru cu f(x)=1 cu D=R.

Operatia 0^0 nu este definita, deci domeniul care nu ne ridica probleme este fara 0. Nu vad insa care este problema daca un autor prefera prelungirea prin continuitate si considera functia constanta 1 peste tot.

[Citat] 2) Tot Siretchi considera ca f:R->R, f(x)=x^n este o functie obtinuta prin inmultire repetata a functiei identitate si din ea se pot construi functiile polinomiale si rationale. Deci are sens sa vorbim despre functie putere cu exponent natural sau intreg?

Nu inteleg intrebarea.

[Citat] 3) Acelasi Siretchi considera functia radical ca fiind un caz particular de functie putere si o include in clasa functiilor elementare E. Pai daca e caz particular al unei functii elementare de baza de ce nu consideram ca ea se gaseste deja in E0?

Nu stiu ce inseamna E0 si iar nu inteleg care este intrebarea.

[Citat] 4)Ar fi suficient sa definim functia putere astfel: f(x)=x^a, a real nenul si D=(0,infinit) ?

Daca vrem neaparat, putem face asa ceva.

[Citat] 5) Are sens sa vorbim de numere negative la puteri irationale?

Aici trecem pe taram complex si lucrurile nu mai tin de matematica de liceu. Va trebui sa discutam despre ramuri de functii complexe.

Intrebare La ce ne folosesc aceste conventii pe care le discutam aici? Daca vrem sa scriem o carte si suntem atenti sa nu facem greseli in domeniile de definitie, grija este justificata. Daca insa punem accentul pe aceste lucruri intr-o clasa obisnuita de liceu, ma tem ca irosim timpul elevilor.

Multumesc pentru raspunsuri.

1) Nu vad nicio problema in a prelungi prin continuitate o functie. Este insa aceasta functie f:R->R, f(x)=1 un caz particular al functiei putere pentru exponent nul?

2) Este vorba de terminologie. f(x)=x^5 este functie putere, polinomiala sau produs al functiei identitate cu ea insasi?

3) E0 (E rond indice 0) spune Siretchi ca este clasa functiilor elementare de baza: constanta, identitate, exp, putere, log, trig si arctrig. Din aceastea se obtin functiile elementare prin operatii algebrice sau compunere. Iar multimea functiilor elementare o noteaza cu E (E rond).

4) Vroiam doar sa gasim un mod de definire unitar al functiei putere. Dumneavoasta cum ati face-o?

Si la intrebarea dumneavoastra: la ce ne sunt utile anumite conventii? Posibil pentru a utiliza un limbaj comun. Absolut de acord ca nu trebuie irosit timpul elevilor cu astfel de detalii. Intradevar aveam nevoie in scrierea unei lucrari (nu neaparat publicabile) a unei rigori a definitiilor mai ales ca tema se invarte in jurul notiunilor fundamentale.

Multumesc

[Citat] Multumesc pentru raspunsuri. 1) Nu vad nicio problema in a prelungi prin continuitate o functie. Este insa aceasta functie f:R->R, f(x)=1 un caz particular al functiei putere pentru exponent nul?

Avand in vedere ca 0^0 nu poate fi definit, daca suntem foarte pedanti, functia putere x^0 nu poate avea domeniul R. Deci functia constanta 1 cu domeniul R este altceva decat x^0 cu acelasi domeniu.

[Citat] 2) Este vorba de terminologie. f(x)=x^5 este functie putere, polinomiala sau produs al functiei identitate cu ea insasi?

Toate acestea, la fel cum si Leonardo da Vinci poate fi numit pictor, arhitect, inventator, etc

[Citat] 4) Vroiam doar sa gasim un mod de definire unitar al functiei putere. Dumneavoasta cum ati face-o?

Nu mi-as propune sa definesc x^a pe acelasi domeniu pentru toate valorile lui a. Domeniul maxim de definitie depinde de valoarea lui a.

Cu permisiunea Dumneavoastra o sa incerc sa definesc functia putere si am rugamitea sa ma completati daca este necesar:

f:D->R, f(x)=x^a

1)pt. a=0 avem D=R\{0}
2)pt. a?N* avem D=R (putem s-o numim si f polinomiala)
3)pt. a?Z\N avem D=R (putem s-o numim si f rationala sau cat de f constanta si f polinomiala)
4)pt. a?Q\Z avem doua cazuri:
4.1) a - fractie ireductibila cu numitor par si atunci D=[0,?)(pt. numarator=1 putem s-o numim si f radical de ordin par)
4.2) a - fractie ireductibila cu numitor impar si atunci D=R (pt. numarator=1 putem s-o numim si f radical de ordin impar))
5)pt. a?R, a>0 avem D=[0,?)
6)pt. a?R, a<0 avem D=(0,?)

Si pentru a nu deschide alt subiect as dori sa stiu daca se pune problema existentei punctelor de extrem ale unei functii in puncte in care functia nu este continua.

Va multumesc

[Citat] Cu permisiunea Dumneavoastra o sa incerc sa definesc functia putere si am rugamitea sa ma completati daca este necesar: f:D->R, f(x)=x^a 1)pt. a=0 avem D=R\{0} 2)pt. a?N* avem D=R (putem s-o numim si f polinomiala) 3)pt. a?Z\N avem D=R (putem s-o numim si f rationala sau cat de f constanta si f polinomiala) 4)pt. a?Q\Z avem doua cazuri: 4.1) a - fractie ireductibila cu numitor par si atunci D=[0,?)(pt. numarator=1 putem s-o numim si f radical de ordin par) 4.2) a - fractie ireductibila cu numitor impar si atunci D=R (pt. numarator=1 putem s-o numim si f radical de ordin impar)) 5)pt. a?R, a>0 avem D=[0,?) 6)pt. a?R, a<0 avem D=(0,?) Si pentru a nu deschide alt subiect as dori sa stiu daca se pune problema existentei punctelor de extrem ale unei functii in puncte in care functia nu este continua. Va multumesc

Chestia cu nedefinirea lui 0 la 0 e exagerata. Putem foarte frumos
sa acceptam ca 0^0=1! Nu cred ca se contrazic regulile de calcul cu puteri in acest fel.(asta e si ideea in fond).
Parerea mea e ca din contra, daca nu definim 0^0 ne facem viata mult mai complicata, unele formule in care apare x^0 trebuie sa le dam pe mai multe cazuri si ne complicam absolut inutil.

Multi spun ca 0^0 e nedeterminare, dar aia e cu totul alta treaba-acolo, la analiza este vorba de o limita unde baza si exponentul tind la zero, nici vorba de operatia numerica 0^0.
Iar din cate stiu eu, x^y poate fi bine definit ca numar real in cazurile:
x>0 , si y orice nr real
x=0 si y>=0
x<0 si atunci obligatoriu numai y INTREG!
Deja de la exponenti rationali nu se mai definesc puteri cu baza negativa.
Nu definesc (-2)^x cand x este rational. As putea sa dau definitia aceea bazata pe paritatea/imparitatea numitorului, dar e cam aiurea. De ce?
Pai s-ar putea sa vreau ca (-2)^(2/4)=(-2)^(1/2) ori primul nu are sens.
Cineva ar putea spune ca trebuie sa stau intai sa simplific fractia, dar e aiurea,
toate operatiile bine definite cu numere rationale nu depind de fractia folosita, de faptul ca ea se simplifica sau nu.
Apoi, puterile astea nu le definesc asa, de-amorul artei, poate vreau sa fac si operatii cu ele. Si cine-mi garanteaza ca operand cu puteri care au sens(numitorul fractiei ireductibile de la exponent e impar ...) dau peste puteri care nu au sens?? Si chiar daca justific asta, definitia ramane complet inutila in cazul baza negativa si exponent rational care scris ca fractie ireductibila are nu-stiu-ce proprietati. Nu reusesc sa-mi imaginez o alta aplicatie a acestei definitii decat "Sa se calculeze (-8)^1/3". Deci degeaba,
ca asta inseamna radical de ordin 3 pur si simplu.


Iar definitia punctului de extrem n-are de-a face cu continuitatea functiei,deci
poate exista foarte bine punct de extrem in care functia nu-i continua. Ca nu se mai aplica teoremele binecunoscute de la analiza, e alta treaba, asta nu inseamna
ca nu exista un astfel de punct de extrem.

Multumesc pt. raspuns cristi2011. Raspunsul dumneavoastra confirma faptul ca nu exista o "conventie" clara in definirea functiei putere.

Referitor la continuitatea functiei in punctele de extrem si eu sunt de aceeasi parere. Ma derutase doar un enunt dintr-un manual (sincer in acest moment nu mai stiu care) in care se sublinia continuitatea functiei in contextul punctelor de extrem. Dar probabil era data o conditie suficienta care necesita si continuitatea functiei.

Si daca tot suntem la capitolul de "clarificari" m-ar interesa care este diferenta intre domeniul de derivabilitate al unei functii si domeniul (maxim) de definitie al derivatei aceleasi functii. Manualele de clasa a XI-a sunt destul de sarace in precizari referitore la demonstrarea derivabilitatii pe un interval.

[Citat] Si daca tot suntem la capitolul de "clarificari" m-ar interesa care este diferenta intre domeniul de derivabilitate al unei functii si domeniul (maxim) de definitie al derivatei aceleasi functii.

Trebuie sa insemne acelasi lucru.