1.In triunghiul oarecare ABC, M<(AB), N<(BC) SI P < (AC), astfel incat AM= AB/3, BN=BC/4 si CP=AC/5.
Calculati valoarea raportului dintre aria triunghiului MNP si cea a triughiului ABC.


2. In patratul ABCD de latura 12 se inscrie triunghiul echilateral AMN, cu M<(BC) si N<(CD). Aflati aria lui AMN.

*Am notat cu < - apartine.
Ma puteti ajuta? Chiar nu reusesc sa le rezolv.
Multumesc!

Problema nr 1 :

http://postimage.org/image/35523kvtw/


NOTA: acolo unde am calculat S BMN am inversat rapoartele (trebuia (2/3)x si nu (3/2)x) dar rezultatul e bun. (sper ca si pt celelalte)

[Citat] 1. In triunghiul oarecare ABC consideram punctele M,N,P pe laturi, M pe (AB) astfel incat AM = AB/3, N pe (BC) astfel incat BN = BC/4, P pe (AC) astfel incat CP = AC/5. Calculati valoarea raportului dintre aria triunghiului MNP si cea a triughiului ABC.

Sa facem un fel de poza:

Care este raportul dintre ariile triunghiurilor ABC si MBC ?
Ele au o latura comuna, iar inaltimile respecta raportul BA:BM .

Care este raportul dintre ariile triunghiurilor MBC si MBN ?
Ele au o latura comuna, iar inaltimile respecta raportul BC:BN .

Deci raportul dintre aria triunghiului BMN si a lui BAC este
(BM:BA) . (BN:BC) .
Acelasi lucru reiese din exprimarea ariei folosind sinusul unghiului dintre doua laturi. Este si solutia pe care o prefer, dar doar pentru cei ce o inteleg, nu pentru cei ce o aplica este buna...

Daca adunam cele cunoscute rezulta:

Mai mult nu trebuie explicitat decat in examene si teze.

[Citat] 2. In patratul ABCD de latura 12 se "inscrie" triunghiul echilateral AMN, cu M pe (BC) si N pe (CD). Aflati aria lui AMN.

Indicatie:
Sa notam cu x si y segmentele BM respectiv DN,

Ce relatii trebuie sa satisfaca x si y pentru a avea AM = MN = AN ?

Care este valoarea comuna pentru x=y ?

Care sunt ariile triunghiurilor ABM, ADN, CMN?

Care este aria lui AMN?

Verificare: Care este latura lui AMN si care este aria triunghiului echilateral cu aceasta latura? Se inchide cercul?

Am aflat ABM congruent cu ADN cu m(AMB)=m(AND)=75 grade si m(BAM)=m(DAN)=15 grade. De asemenea am aflat m(CMN)=m(CNM)=45 grade, deci triunghiul MCN este dreptunghic isoscel cu MC=NC. Dar cum pot aflat din acestea BM sau DN, adica x si y? Nu am niciun triunghi unde sa pot folosi sin sau cos ( adica nu am unghiuri de 30,45,60 si o lataura cunoscuta intr-un triunghi).

Dar, AF=inaltime in triunghiul ABC-echilateral

(1), (2)

Aria triunghiului ABC se calculeaz? cu formula :

[Citat] Am aflat ABM congruent cu ADN cu m(AMB)=m(AND)=75 grade si m(BAM)=m(DAN)=15 grade. De asemenea am aflat m(CMN)=m(CNM)=45 grade, deci triunghiul MCN este dreptunghic isoscel cu MC=NC. Dar cum pot aflat din acestea BM sau DN, adica x si y? Nu am niciun triunghi unde sa pot folosi sin sau cos ( adica nu am unghiuri de 30,45,60 si o lataura cunoscuta intr-un triunghi).

La-ntebare vine imediat raspunsul:

Deoarece ABM si ADN sunt triunghiuri dreptunghice congruente, rezulta ca x=y.
Scriem atunci
formula pentru AM din ABM si
formula pentru MN din CMN si
formam ecuatia in x din MN = AM, pe care o rezolvam...

Care este ecuatia si care este solutia (x>0) ?

N.B. Exact acest mod de intrebare-raspuns este cel ce aduce progrese... Multumesc pentru ducerea gandurilor pana aici, mai este doar un mic pas, care data viitoare sigur sigur nu mai doare...

Este util, în clasa a VII-a, s? se determine valorile func?iilor trigonometrice pentru unghiul de

. (Cu ceva ani în urm?, s-a cerut, la o tez? cu subiect unic, s? se arate valoarea

.)
Din triunghiul MAB,

. De aici se determin? l, lungimea laturii lui AMN.

Aria triunghiului ABC se calculeaz? cu formula :

[Citat] Este util, în clasa a VII-a, s? se determine valorile func?iilor trigonometrice pentru unghiul de ...

Eu stiu, multumesc mult pentru solutia de mai sus, este cea ce merge pe drumul cel mai scurt.

Paralel avem de asemenea o problema didactica.
Ne adresam unui elev de clasa a VII-a.
Trebuie sa "vindem" importanta cunoasterii lui tan(15 grade), iar cu cea mai buna constiinta pe care o am, nu pot cere cunoasterea valorii pe de rost.
(Sa fim sinceri, in clasa noastra din liceu au fost intotdeauna colegi cu probleme insurmontabile legate de memorarea lui sin( 45 grade ) sau tan( 30 de grade ). Candva am desenat un triunghi echilateral, de atunci memorarea a fost suprimata de desenarea repetata a unui triunghi echilateral. Nu stiu daca e bine, in conditii de examen pe de o parte avem castig de timp prin aplicarea formulei, pe de alta avem un sentiment sporit de siguranta prin intelegere.)

De aceea:

Problema este un exemplu excelent pentru a ne deduce cu propriile rotite intotdeauna valoarea lui tan(15 grade).

In plus, mi s-a cerut un mod oarecare, indiferent de a continua firul ideilor.
(Iar drumul cu "sin de ceva cunoscut" a fost negat explicit.) Incerc de a da cat mai multe solutii, e important ca toti elevii sa aibe in matematica multe exemple de probleme cu multe solutii !