Sa zicem ca avem urmatorul sistem de relatii

unde

sunt polinoame , iar a,b,c sunt interpretate
ca parametri (x,y fiind variabilele)

Eliminam pe x si y si gasim relatia

.
E clar ca G(a,b,c)=0 este o conditie necesara pentru ca sistemul
de mai sus in x,y sa aiba solutii.
Exista vreo teorema generala care sa ne asigure ca, eventual in
conditii suplimentare, G(a,b,c)=0 e si suficienta pentru
existenta solutiilor , nu doar necesara?

Si de asemenea, exista o metoda generala de a face eliminarea, bazata
eventual pe vreun fel de rezultant?
Multumesc!

Ideea unei astfel de intrebari mi-a venit dupa multe
probleme de genul:
Gasiti conditia necesara si suficienta pentru care radacinile ecuatiei

sunt in progresie geometrica.
Solutie: Le luam de forma:

, folosim Viete si dam de sistemul:

de aici, eliminand p,q gasim conditia

.
Si in toate cartile/culegerile solutia se termina aici.
Dar este ea completa? Deoarece eu zic ca se demonstreaza doar
necesitatea conditiei, nu si suficienta ei. E intotdeauna valabila
suficienta sau se poate gresi? Asta vroiam sa stiu.

Am inteles ca s-ar folosi "teorema extensiei" din teoria eliminarii.