Am mai multe nelamuriri in legatura cu functiile trigonometrice, insa, deoarece vad ca toate se leaga intre ele, as vrea sa va intreb pentru inceput:

1 : Care este domeniul de definitie al functiei "sinus" ?
In ciclul gimnazial stiam ca pot efectua numai "sin" de anumite GRADE (chiar mai mici de 90 gr). In liceu am vazut ca domeniul s-a extins pe R (numere reale). Nu inteleg ... ce legatura exista intre grade si numere?
Sau mai bine zis ce inseamna sin 1 ;unde 1 apartine lui R ?

poate ceva istorie m-ar face sa inteleg mai bine. Cum a fost "descoperita" functia sin si valorile ei ?

Celelalte intrebari nu le postez inca. Voi incerca sa le dau raspuns singur dupa ce ma veti ajuta cu intrebarea nr 1.


Multumesc anticipat!

[Citat] Am mai multe nelamuriri in legatura cu functiile trigonometrice, insa, deoarece vad ca toate se leaga intre ele, as vrea sa va intreb pentru inceput: 1 : Care este domeniul de definitie al functiei "sinus" ? In ciclul gimnazial stiam ca pot efectua numai "sin" de anumite GRADE (chiar mai mici de 90 gr). In liceu am vazut ca domeniul s-a extins pe R (numere reale). Nu inteleg ... ce legatura exista intre grade si numere? Sau mai bine zis ce inseamna sin 1 ;unde 1 apartine lui R ? poate ceva istorie m-ar face sa inteleg mai bine. Cum a fost "descoperita" functia sin si valorile ei ? Celelalte intrebari nu le postez inca. Voi incerca sa le dau raspuns singur dupa ce ma veti ajuta cu intrebarea nr 1. Multumesc anticipat!

La gimnaziu se defineste doar sinusul unui unghi ascutit
intr-un triunghi dreptunghic, deci avem de-a face doar cu sinus pe
(0grade,90 grade)
Apoi, in clasa a noua se extinde domeniul functiei sinus la multimea R, prin intermediul
cercului trigonometric.
Ce legatura exista intre grade si numere?
Legatura e data de masurarea unghiurilor in radiani. Astfel, orice numar real
este masura in radiani a unui unghi(care are bineinteles un echivalent in grade).
Atunci sinusul numarului real 1 e pur si
simplu sinusul unghiului de 1 radian(ca sa reamintim unghiul de 1 radian e unghiul
la centru intr-un cerc care subantinde un arc de lungime egala cu raza cercului).
Prin intermediul cercului trigonometric se poate defini sinx ,x numar real
si direct, cu ajutorul functiei de infasurare, care asociaza fiecarui numar real
un punct pe cerc, obtinut plecand din A(1,0) si parcurand un arc de lungime x.
Atunci sinx va fi ordonata acestui punct.
Istoric, functia sinus a aparut exact asa cum se si studiaza:intr-un triunghi dreptunghic. Abia apoi s-a extins la unghiuri obtuze, ba chiar la unghiuri mai
mari de 180 sau 360 sau unghiuri negative(unghiuri de rotatie).
Trecerea la masurarea unghiurilor in radiani, si la sinus ca functie reala
de variabila reala s-a facut odata cu dezvoltarea analizei matematice.
Analistii "adevarati" nici nu vor sa auda de cerc trigonometric, etc- e prea
putin riguros pentru ei. Ei definesc sinus si cosinus cu totul altfel(serii de puteri, ecuatii diferentiale, etc).
Deci raspunsul este:domeniul de definitie al functiei sin este multimea
numerelor reale.
Bineinteles, se poate interpreta sinus si ca o functie definita pe multimea
unghiurilor, sau chiar ca o functie definita pe multimea arcelor(corespondenta unghi la centru-arc), insa in definitiv, tot ceea ce conteaza ptr valoarea sinusului e masura unghiului sau arcului respectiv, care e un numar real.(atunci cand le masuram in radiani,care
pot fi transformate in grade, daca vrem)

[Citat] La gimnaziu se defineste doar sinusul unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic, deci avem de-a face doar cu sinus pe (0grade,90 grade) Apoi, in clasa a noua se extinde domeniul functiei sinus la multimea R, prin intermediul cercului trigonometric. Ce legatura exista intre grade si numere? Legatura e data de masurarea unghiurilor in radiani. Astfel, orice numar real este masura in radiani a unui unghi(care are bineinteles un echivalent in grade). Atunci sinusul numarului real 1 e pur si simplu sinusul unghiului de 1 radian

Multumesc pentru raspuns!

Inteleg ce inseamna sin de anumite grade sau sin de radiani.
Acum : Fie A(1,0) un punct pe cercul trigonometric , O(0,0)
si fie t < [0,2pi) (in intervalul dat sunt numere nu radiani,caci t = un numar)

Teoria zice : "Numarului t ii asociam pe cerc un punct M(t) astfel incat masura in radiani a unghiului AOM sa fie egala cu t . (in sens trigonometric)"
Din aceasta reiese asa cum ai spus si tu ca sin(x radiani)=sin(x) unde x<R;

Ce nu inteleg eu e de ce s-a facut tocmai aceasta asociere ? pe ce baza? Nu puteam la fel de bine sa asociam numarului t un punct M(t) pe cerc astfel incat masura in radiani a unghiului AOM sa fie dublul lui t (doar un exemplu) ? Asocierea facuta este doar o conventie matematica? (si daca da cu ce scop)



Un alt lucru care nu-l stiu e cum s-a facut trecerea de la triunghiul dreptunghic la cercul trigonometric? Cum si-au dat seama ca raportul cateta opusa supra ipotenuza corespunde cu proiectia punctului M(t) pe axa OY ? De ce nu s-a ales la fel de bine in loc de cerc un patrat centrat in origine cu latura L=2 ? pt sinus era acelasi lucru(macar in capete). (exemplu stupid, numai ca sa vedeti unde nu mi-e clar)


` < = apartine

In geometria riemanniana de mult mai incolo sunt multe lucruri "canonice", adica luate "asa cum este natura lucrurilor". Incerc sa le explic pe exemplul cercului, care este "o varietate de dimensiune unu in planul real, care este o varietate (afina) de dimensiune doi"...

In plan avem cu totii notiunea de lungime.
E clar ca segmentul [0,1] de pe "linia reala" (cu metrica canonica) "are" lungimea unu.
E clar ca segmenul de la (0,0) la (1,0) din planul real are de asemenea lungimea unu.
Dar ce lungime are "cercul", varietatea diferentiala de dimensiune unu definita de ecuatia xx + yy = 1 in planul real de coordonate (x,y). Sper ca e clar ca lucrurile stau mai complicat.
La nivel de clasa a XI-a se da ca dogma formula lungimii curbei formata de graficul unei functii (regulate destul), functie definita pe segmentul [a,b] cu valori in IR. Dogma se clarifica la facultate cand se definesc astfel de lucruri (mai mult sau mai putin dogmatic de asemenea), in esenta avem de-a face cu "marimi independente de o parametrizare anume".

De exemplu, putem parametriza o bucata de cerc prin
(-1,1) -> IR
x -> ( x, + radical( 1-xx ) )
dar e clar ca nu "ne miscam cu viteza constanta pe cerc", doar umbra pe axa Ox se misca constant.

Apare necesitatea de a parametriza astfel de curbe "uniform", pentru fizicieni anume cu "viteza constanta depinzand de parametrul de timp t sa zicem", si anume cu viteza de 1 (m/s).

De aceea, cel mai bun mod de a ne plimba pe cerc, incepand cu (1,0) in sensul (ne)canonic al orientarii cercului, anume cel invers trigonometric, este cel in care ne miscam uniform, sincron cu functia care da "lungimea arcului".
Intamplator, aceasta functie de parcurgere este exact functia

t -> ( cos(t) , sin(t) ) ~ cos(t) + i sin(t) = exp(it) ,

iar proprietatile functiilor sin, cos, exp ne ajuta deseori, de exemplu daca facem geometrie sau astronomie sau design.
Mai departe, deoarece miscarea "uniforma" pe cerc este "sincrona" cu miscarea radiala a unui ac de radar in jurul originii, nu putem sa rezistam tentatiei de a defini masura de unghiuri in directa conformitate cu miscarea sincrona pe cercul unitate. Este o conventie, sa presupunem ca in jurul unui punct, unghiul "complet" are masura de 2 pi "radiani, in orice caz mai buna decat cea cu 360 de "grade", daca vrem sa avem o transpunere imediata a formulelor de o estetica inegalabila:

care din pacate nu pot fi prezentate pe clasa a VII-a sau a IX-a, deoarece avem nevoie de convergenta unui sir (in numere complexe)...
Pe a XI-a s-ar putea crea un mic efort didactic, dar sunt ataaaaaaaaaaatea manuale de rescris...

[Citat] Sper ca e clar ca lucrurile stau mai complicat.

) Multumesc mult pt raspunsuri. Nu am inteles in intregime, dar mi-am format o parere.