In

avem

,

,

astfel ca

. Calculati

Raspunsul este cumva

?

Rescaland putem presupune ca triunghiul ABC are laturile

AB = sin(45)
BC = sin(75)
CA = sin(60)

In triunghiul nou, BDC, cu unghiurile de masura (in grade) 15, 120, 45,
teorema sinusului (tocmai folosita pentru ABC) ne spune ca:

DC : BC = sin(15) : sin(120)

De aici il putem scoate pe DC ca o expresie multiplicativa de diverse sinusuri.
Rezulta (brutal):

Folosind doar definitiile f. trig. in triunghiul dreptunghic, avem:
- Din triunghiul ABD obtinem (pentru ajutor desenam inaltimea din A):

- Din triunghiul ABC obtinem (pentru ajutor desenam inaltimea din A):

- Apoi

Solutia sintetica, clasa a VI-a, este cea estetica.

(1) Construim triunghiul echilateral de latura AC, fie X al treilea varf.
(2) Fie O centrul lui ACX.
(3) Fie E simetricul lui D fata de mediatoarea XO a segmentului AC.

Intr-o poza aproximativa:

Atunci:
(i) m(ABC) = M(AXC) = 60 (de grade, toate masurile de unghiuri vor fi in grade), deci ABXC este inscriptibil, deci
OA = OB = OX = OC .

(ii) m(BAX) = m(BAC) - m(XAC) = 75-60 = 15.
De aceea unghiul la centru BOX in cercul circumscris lui ABXC are 30 de grade.

(iii) Unghiurile triunghiului isoscel (OB=OX) BOX sunt deci 30, 75, 75.
Unghiurile triunghiului isoscel BOC sunt
- mai intai m(OCB) = m(ACB) - m(ACO) = 45 - 30 = 15 ,
- apoi m(OBC) = m(OCB) = 15.
- si raman 150 pentru m(BOC).

(iv) Punctul D dat de problema se afla deci pe BO. (Cele 15 grade!)

(v) Unghiurile in triunghiul ODC sunt m(DOC) = 180 - m(BOC) = 30 (sau 15+15..) si desigur m(DCO) = 30, OC fiind bisectoare in ACX.
Deci triunghiul ODC este isoscel.
Prin simetrie fata de XO si triunghiul OEA este isoscel.

(vi) Unghiul EOD are masura de 160-30-30 = 60 de grade.
Din simetrie avem si OE = OD . Deci triunghiul EOD este echilateral.

(vii) Am demonstrat deci ca:
AE = EO = ED = DO = DC .
Deci AE = ED = DC = (AE+ED+DC)/3 = AC/3.